单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $M=\{x \mid y=\lg (2 x-3)\}, N=\{y \mid y>1\}$, 则 $M \cap N=$
$\text{A.}$ $\left(-1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{B.}$ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$
某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查 7 名同学在某周周日校园跑的时长 (单位：分钟），得到统计数据如下： $35,30,50,90,70,85,60$ 则该组数据的中位数和平均数分别为
$\text{A.}$ 60,58
$\text{B.}$ 60,60
$\text{C.}$ 55, 58
$\text{D.}$ 55,60
已知 $z=\frac{a+i}{1+i}(a \in {R})$ 为实数, 则 $|2 z+z i|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
曲线 $y=\mathrm{e}^x+\sin 2 x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $3 x+2 y-2=0$
$\text{B.}$ $2 x-2 y+1=0$
$\text{C.}$ $3 x-y+1=0$
$\text{D.}$ $3 x-2 y+2=0$
已知锐角 $\alpha, \beta$ 满足 $\sin \alpha+\sin \alpha \sin \beta=\cos \alpha \cos \beta$, 则 $2 \alpha+\beta=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\pi$
过点 $P(1,-3)$ 的直线 $l$ 与曲线 $M:(x-2)^2+y^2=1(2 \leqslant x \leqslant 3)$ 有两个交点, 则直线 $l$ 斜率的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(\frac{2}{3}, 1\right]$
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{3}, 2\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{2}{3}, 2\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{2}{3}, 4\right]$
已知椭圆 $T: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 1 的直线 $l$ 与 $T$ 交于 $A, B$ 两点, 若线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $x+2 y=0$ 上, 则 $T$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\tan \angle B A D=7, A B=5 \sqrt{2}, A D=5, E$ 为边 $B C$ 上异于端点的一点, 且 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{D E}=45$, 则 $\sin \angle C D E=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{13}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{3-m}-\frac{y^2}{m+6}=1$, 则
$\text{A.}$ $m$ 的取值范围是 $(-6,3)$
$\text{B.}$ $m=1$ 时, $C$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{7}}{2} x$
$\text{C.}$ $C$ 的焦点坐标为 $(-3,0),(3,0)$
$\text{D.}$ $C$ 可以是等轴双曲线
下列函数中, 存在数列 $\left\{a_n\right\}$ 使得 $a_1, a_2, a_3$ 和 $f\left(a_1\right), f\left(a_2\right), f\left(a_3\right)$ 都是公差不为 0 的等差数列的是
$\text{A.}$ $f(x)=\tan x$
$\text{B.}$ $f(x)=\log _2 x$
$\text{C.}$ $f(x)=x^{2024}$
$\text{D.}$ $f(x)=\lg \frac{1+x}{1-x}$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 和奇函数 $g(x)$ 满足 $f(2+x)+g(-x)=1$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于点 $(2,1)$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 是以 8 为周期的周期函数
$\text{C.}$ $g(x+8)=g(x)$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2024} f(4 k-2)=2025$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二项式 $(x-y)^6$ 的展开式中 $x^4 y^2$ 的系数为
已知函数 $f(x)=2024 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, m\right)$ 内恰有两个极值点，则实数 $m$ 的取值范围为
已知三个正整数的和为 8 , 用 $X$ 表示这三个数中最小的数, 则 $X$ 的期望 $E X=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
2024 年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于 6 月 30 日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以 12 秒 74 分的成绩打破了 100 米女子跨栏的亚洲纪录, 并夺得了 2024 年全国田径冠军赛女子 100 米跨栏决赛的冠军, 通过跑道侧面的高清轨道掫像机记录了该运动员时间 $x$ (单位: s ) 与位移 $y$ (单位: m ) 之间的关系, 得到如下表数据:
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.
(1) 求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程;
(2) 记 $\hat{e}_i=y_i-\hat{y}_i=y_i-\hat{b} x_i-\hat{a}$, 其中 $y_i$ 为观测值, $\hat{y}_i$ 为预测值, $\hat{e}_i$ 为对应 $\left(x_i, y_i\right)$ 的残差, 求前 3 项残差的和。
参考数据: $\sum_{i=1}^5 x_i^2=45.1, \sum_{i=1}^5 x_i y_i=434.7$, 参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^n x_i^2-n \overline{x^2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
已知 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=\frac{4 c \cos A}{4-a}$.
(1) 证明: $b=4 \cos C$;
(2) 若 $C=\frac{\pi}{6}, c=\sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
已知直线 $l: x=m y+n$ 交抛物线 $C: y^2=4 x$ 于 $M, N$ 两点, $F$ 为 $C$ 的焦点, 且 $F M \perp F N$.
(1) 证明: $m^2+n>0$;
(2) 求 $n$ 的取值范围.
如图, 在棱长为 4 的正方体 $A B C D-E F G H$ 中, 将侧面 $C D H G$ 沿 $C G$ 逆时针旋转角度 $\theta$ 至平面 $C D_1 H_1 G$, 其中 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 点 $P$ 是线段 $E F$ 的中点.
(1) 当 $\tan \angle D_1 P H_1=\frac{2}{3}$ 时, 求四棱锥 $P-C D_1 H_1 G$ 的体积;
(2) 当直线 $D H_1$ 与平面 $C D_1 H_1 G$ 所成的角为 $\frac{\pi}{6}$ 时, 求 $\cos \theta$ 的值.
定义: 若对于任意 $n \in \mathbf{N}^*$, 数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足: (1) $x_n \neq y_n$; (2) $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$, 其中 $f(x)$ 的定义域为 $D, x_n, y_n \in D$, 则称 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $f(x)$ 满足性质 $G$.
(1) 请写出一个定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$, 使得 $\{n\},\{-n\}$ 关于 $f(x)$ 满足性质 $G$;
(2) 设 $g(x)=x+\frac{k}{x}(x>0, k>0)$, 若 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $g(x)$ 满足性质 $G$, 证明: $x_n+y_n>2 \sqrt{k}$ ；
(3) 设 $h(x)=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}+x}+\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} x}-\sin x(x \in \mathbf{R})$, 若 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $h(x)$ 满足性质 $G$, 求数列 $\left\{x_n+y_n\right\}$ 的前 $n$ 项和。