定义: 若对于任意 $n \in \mathbf{N}^*$, 数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足: (1) $x_n \neq y_n$; (2) $f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right)$, 其中 $f(x)$ 的定义域为 $D, x_n, y_n \in D$, 则称 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $f(x)$ 满足性质 $G$.
(1) 请写出一个定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$, 使得 $\{n\},\{-n\}$ 关于 $f(x)$ 满足性质 $G$;
(2) 设 $g(x)=x+\frac{k}{x}(x>0, k>0)$, 若 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $g(x)$ 满足性质 $G$, 证明: $x_n+y_n>2 \sqrt{k}$ ；
(3) 设 $h(x)=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}+x}+\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{2} x}-\sin x(x \in \mathbf{R})$, 若 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 关于 $h(x)$ 满足性质 $G$, 求数列 $\left\{x_n+y_n\right\}$ 的前 $n$ 项和。