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定义: 若对于任意
n
∈
N
∗
, 数列
{
x
n
}
,
{
y
n
}
满足: (1)
x
n
≠
y
n
; (2)
f
(
x
n
)
=
f
(
y
n
)
, 其中
f
(
x
)
的定义域为
D
,
x
n
,
y
n
∈
D
, 则称
{
x
n
}
,
{
y
n
}
关于
f
(
x
)
满足性质
G
.
(1) 请写出一个定义域为
R
的函数
f
(
x
)
, 使得
{
n
}
,
{
−
n
}
关于
f
(
x
)
满足性质
G
;
(2) 设
g
(
x
)
=
x
+
k
x
(
x
>
0
,
k
>
0
)
, 若
{
x
n
}
,
{
y
n
}
关于
g
(
x
)
满足性质
G
, 证明:
x
n
+
y
n
>
2
k
；
(3) 设
h
(
x
)
=
e
π
2
+
x
+
e
−
π
2
x
−
sin
x
(
x
∈
R
)
, 若
{
x
n
}
,
{
y
n
}
关于
h
(
x
)
满足性质
G
, 求数列
{
x
n
+
y
n
}
的前
n
项和。
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