如图, 在棱长为 4 的正方体 $A B C D-E F G H$ 中, 将侧面 $C D H G$ 沿 $C G$ 逆时针旋转角度 $\theta$ 至平面 $C D_1 H_1 G$, 其中 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 点 $P$ 是线段 $E F$ 的中点.
(1) 当 $\tan \angle D_1 P H_1=\frac{2}{3}$ 时, 求四棱锥 $P-C D_1 H_1 G$ 的体积;
(2) 当直线 $D H_1$ 与平面 $C D_1 H_1 G$ 所成的角为 $\frac{\pi}{6}$ 时, 求 $\cos \theta$ 的值.