已知椭圆 $T: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 1 的直线 $l$ 与 $T$ 交于 $A, B$ 两点, 若线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $x+2 y=0$ 上, 则 $T$ 的离心率为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$