数学试题讲解

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如图, 在棱长为 4 的正方体

A B C D - E F G H

中, 将侧面

C D H G

沿

C G

逆时针旋转角度

θ

至平面

C D_{1} H_{1} G

, 其中

θ \in (0, \frac{π}{2})

, 点

P

是线段

E F

的中点.
(1) 当

\tan ∠ D_{1} P H_{1} = \frac{2}{3}

时, 求四棱锥

P - C D_{1} H_{1} G

的体积;
(2) 当直线

D H_{1}

与平面

C D_{1} H_{1} G

所成的角为

\frac{π}{6}

时, 求

\cos θ

的值.