单选题 （共 27 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值, 则 $A$ 的伴随矩阵 $A$ * 的特征值之一是
$\text{A.}$ $\lambda^{-1}| A |^n$.
$\text{B.}$ $\lambda^{-1}| A |$.
$\text{C.}$ $\lambda| A |$.
$\text{D.}$ $\lambda| A |^n$.
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 已知 $n$ 维列向量 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则矩阵 $\left( P ^{-1} A P \right)^{ T }$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $P ^{-1} \alpha$.
$\text{B.}$ $P ^{ T } \alpha$.
$\text{C.}$ $P \alpha$.
$\text{D.}$ $\left( P ^{-1}\right)^{ T } \alpha$.
设 $\alpha$ 为 $n$ 维单位列向量, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵,则
$\text{A.}$ $E - \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{B.}$ $E + \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{C.}$ $E +2 \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
$\text{D.}$ $E -2 \alpha \alpha ^{ T }$ 不可逆.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别 $\alpha _1, \alpha _2$, 则 $\alpha _1$, $A \left( \alpha _1+ \alpha _2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$.
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$.
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$.
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$.
设矩阵 $B =\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. 已知矩阵 $A$ 相似于 $B$, 则秩 $( A -2 E )$ 与秩 $( A - E )$ 之和
等于
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3 .
$\text{C.}$ 4 .
$\text{D.}$ 5 .
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $P$ 为 3 阶可逆矩阵, 且 $P ^{-1} A P =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 若 $P =\left( \alpha _1, \alpha _2\right.$, $\left.\alpha _3\right), Q =\left( \alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2, \alpha _3\right)$, 则 $Q^{-1} A Q =$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$.
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $a=2, b=0$.
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数.
设有矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相似, $B$ 与 $C$ 相似.
$\text{B.}$ $A$ 与 $C$ 相似, $B$ 与 $C$ 不相似.
$\text{C.}$ $A$ 与 $C$ 不相似, $B$ 与 $C$ 相似.
$\text{D.}$ $A$ 与 $C$ 不相似, $B$ 与 $C$ 不相似.
$A$ 为 4 阶实对称矩阵, 且 $A ^2+ A = O$, 若 $A$ 的秩为 3 , 则 $A$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$.
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵, 如果二次曲面方程 $(x, y, z) A \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=1$ 在正交变换下的标准方程的图形如图所示, 则 $A$ 的正特征值的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 2 阶矩阵 $A$ 的特征值均为实数, 则
$\text{A.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{B.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{3}\right]^2 \leqslant| A |$.
$\text{C.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \geqslant| A |$.
$\text{D.}$ $\left[\frac{\operatorname{tr}( A )}{2}\right]^2 \leqslant| A |$.
已知 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $A$ 的特征向量可以是 ( )
$\text{A.}$ $\binom{1}{1}$.
$\text{B.}$ $\binom{2}{2}$.
$\text{C.}$ $\binom{0}{1}$.
$\text{D.}$ $\binom{1}{2}$.
已知 $A$ 为三阶方阵, 且有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征值 1 所对的特征向量, $\alpha_3$ 是特征值 2 所对的特征向量, 则下列选项正确的是:
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha _1+\alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $k \alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\left\|\alpha_1\right\| \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & y\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}u & v & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 相似，则下列说法中，正确的是（）
$\text{A.}$ 仅能确定 $x$ 的取值.
$\text{B.}$ 仅能确定 $x ， y$ 的取值.
$\text{C.}$ 仅能确定 $x ， y ， u$ 的取值.
$\text{D.}$ $x ， y ， u ， v$ 的取值均能确定.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B()$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同，但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设矩阵 $A ， B ， C$ 为同阶矩阵，且 $A ， B$ 可逆，矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ O & B\end{array}\right)$ ， $M_1=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C \\ O & B\end{array}\right), M_2=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C B^{-1} \\ O & B\end{array}\right)$, 则()
$\text{A.}$ $M_1, M_2$ 均与 $M$ 相似.
$\text{B.}$ $M_1$ 与 $M$ 相似， $M_2$ 与 $M$ 不相似.
$\text{C.}$ $M_1$ 与 $M$ 不相似， $M_2$ 与 $M$ 相似.
$\text{D.}$ $M_1, M_2$ 均不与 $M$ 相似.
设 $A ， B$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶矩阵，则下列说法中，错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & A\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & B-A \\ O & B\end{array}\right)$ 相似.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的向量组.若 $A \alpha _1= \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _2= \alpha _1+$ $\alpha _3, A \alpha _3= \alpha _1+ \alpha _2$, 则 $| A |=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 与矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a-b=0$.
$\text{B.}$ $a b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=0$.
$\text{D.}$ $a, b$ 为任意常数.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆, $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则下列论述中不正确的是：
$\text{A.}$ $\alpha$ 是矩阵 $-2 A$ 的属于特征值 $-2 \lambda$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha$ 是矩阵 $\left(\frac{1}{2} A ^2\right)^{-1}$ 的属于特征值 $\frac{2}{\lambda^2}$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^*$ 的属于特征值 $\frac{| A |}{\lambda}$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^T$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.
下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
下述四个条件中, 3 阶方阵 $A$ 对角化的一个充分不必要的条件是 ( ).
$\text{A.}$ $A$ 有 3 个两两线性无关的特征向量;
$\text{B.}$ $A$ 有 3 个线性无关的特征向量;
$\text{C.}$ $A$ 有 3 个互不相等的特征值;
$\text{D.}$ $A$ 属于不同特征值的特征向量正交.
设方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k^2\end{array}\right)$ 是正定矩阵, 则必有 ( )。
$\text{A.}$ $k>0$;
$\text{B.}$ $k>1$;
$\text{C.}$ $k>2$;
$\text{D.}$ $k>-1$ 。
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵; 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 - 2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 合同但不相似
$\text{D.}$ 等价但不一定相似
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A =\left(\begin{array}{lll}
a & & \\
& b & \\
& & a
\end{array}\right), P =\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)$, 计算 $P ^2 A P ^{-1}=$
已知三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 求下列矩阵的行列式.
(1) $A^2$;
(2) $2 A +3 E$;
(3) $4 A ^{-1}- E$;
(4) $A ^*- A$.
已知三阶矩阵 $A , B$ 相似, $A $ 的特征值为 $ 1,2,3$, 求$|2 B - E |$
设 $n(n>2)$ 阶方阵 $A$ 的特征值分别为整数 $-(n-1),-(n-2), \ldots,-2,-1,0$, 且方阵 $B$ 与方阵 $A$ 相似, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 则 $|B+n E|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A =\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求 $A$ 的所有特征值和特征向量.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$, 求 $A$ 的所有特征值和特征向量.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -4 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & a\end{array}\right) 、 B =\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 相似, 求参数 $a 、 b$.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 和对角矩阵相似, 求 $a$.
已知三阶对称阵 $A$ 的特佂值为 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 对应特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, 其中 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$, 求 $\alpha_3$ 并反求矩阵 $A$.
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$.
(1) 求可逆矩阵 $P$ 使 $P ^{-1} A P =\Lambda$;
(2) 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q ^{ T } A Q =\Lambda$.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & y\end{array}\right)$ 有特征向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$,
（1）计算 $A \alpha_1$ ，指出 $\alpha_1$ 对应的特征值，并确定 $x, y$ 的值;
（2）求 $A$ 的所有特征值;
设 $A$ 是 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维列向量, 其中 $\alpha _3 \neq 0$, 若 $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, A \alpha _3= 0$.
（I）证明： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关；
（II）求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量;
（III）若 $\alpha _1=(0,1,0)^{ T }, \alpha _2=(1,0,0)^{ T }, \alpha _3=(0,0,1)^{ T }$ ，求 $A , A ^3$ 和 $( A + E )^3$ 。
若对矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{array}\right)$ 施以初等列变换得矩阵 $B =\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$, 求满足 $A P = B$ 的所有可逆矩阵 $P$.