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行列式练习

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 四阶行列式

| \begin{array}{cccc} a_{1} & 0 & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2} & b_{2} & 0 \\ 0 & b_{3} & a_{3} & 0 \\ b_{4} & 0 & 0 & a_{4} \end{array} |

的值等于

A.

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} - b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

B.

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} + b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}

C.

(a_{1} a_{2} - b_{1} b_{3}) (a_{3} a_{4} - b_{3} b_{4})

D.

(a_{2} a_{3} - b_{2} b_{3}) (a_{1} a_{4} - b_{1} b_{4})

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2. 行列式

| \begin{array}{llll} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \end{array} | =

A.

(a d - b c)^{2}

B.

- (a d - b c)^{2}

C.

a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2}

D.

b^{2} c^{2} - a^{2} d^{2}

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3. 若

α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}

都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式

| α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1} | = m

| α_{1}, α_{2}, β_{2}, α_{3} | = n

, 则 4 阶行列式

| α_{3}, α_{2}, α_{1}, β_{1} + β_{2} |

等于

A.

m + n

B.

- (m + n)

C.

n - m

D.

m - n

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4. 记行列式

| \begin{array}{cccc} x - 2 & x - 1 & x - 2 & x - 3 \\ 2 x - 2 & 2 x - 1 & 2 x - 2 & 2 x - 3 \\ 3 x - 3 & 3 x - 2 & 4 x - 5 & 3 x - 5 \\ 4 x & 4 x - 3 & 5 x - 7 & 4 x - 3 \end{array} |

为

f (x)

, 则方程

f (x) = 0

的的个数为

A.

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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5. 设行列式

D = | \begin{array}{cccc} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & - 7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & - 2 & 2 \end{array} |

, 则第四行各元素余子式之和的值为

A.

B.

-14

C.

D.

-28

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n

阶行列式

{| \begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & b \\ b & 0 & 0 & \dots & 0 & a \end{array} |}_{n \times n}

得值为

A.

a^{n} + (- 1)^{n + 1} b^{n}

B.

C.

a^{n} - b^{n}

D.

a^{n} + b^{n}

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7. 行列式

| \begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 1 & x - 1 \\ 1 & - 1 & x + 1 & - 1 \\ 1 & x - 1 & 1 & - 1 \\ x + 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{array} |

得值

A.

B.

C.

x^{4}

D.

x^{4} - 1

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 在五阶行列式中项

a_{35} a_{53} a_{12} a_{41} a_{24}

的符号为

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9. 设行列式

| \begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array} | = 2

, 则

| \begin{array}{lll} 2 a_{1} + b_{1} & 3 b_{1} & c_{1} \\ 2 a_{2} + b_{2} & 3 b_{2} & c_{2} \\ 2 a_{3} + b_{3} & 3 b_{3} & c_{3} \end{array} | =

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三、解答题（共 22 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 计算行列式

D = | \begin{array}{llll} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{array} |

的值

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11. 设

a b c \neq 0

, 求下列行列式的值:

| A | = | \begin{array}{lll} a + b & a^{- 1} + b^{- 1} & (a + b)^{2} + {(a^{- 1} + b^{- 1})}^{2} \\ b + c & b^{- 1} + c^{- 1} & (b + c)^{2} + {(b^{- 1} + c^{- 1})}^{2} \\ c + a & c^{- 1} + a^{- 1} & (c + a)^{2} + {(c^{- 1} + a^{- 1})}^{2} \end{array} | .

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12. 设

n

阶行列式

| A |

的第

(i, j)

元素

a_{i j} = C_{n i}^{j} (1 \leq i, j \leq n)

, 试求

| A |

的值.

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13. 计算

| \begin{array}{rrrr} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 7 \end{array} |

;

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14. 计算

| \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2 \end{array} |

;

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15. 计算

| \begin{array}{rrr} - a b & a c & a e \\ b d & - c d & d e \\ b f & c f & - e f \end{array} |

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16. 计算

| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & c + a & a + b \end{array} |

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17. 计算

| \begin{array}{rrrr} a & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & b & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & c & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & d \end{array} |

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18. 计算

| \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{array} | .

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19. 解方程

| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & a & b & c \\ x^{2} & a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ x^{3} & a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array} | = 0

其中

a, b, c

互不相等。

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20. 证明：

| \begin{array}{ccc} a^{2} & a b & b^{2} \\ 2 a & a + b & 2 b \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | = (a - b)^{3};

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21. 证明：

| \begin{array}{lll} a x + b y & a y + b z & a z + b x \\ a y + b z & a z + b x & a x + b y \\ a z + b x & a x + b y & a y + b z \end{array} | = (a^{3} + b^{3}) | \begin{array}{lll} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array} |

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22. 证明：

| \begin{array}{cccc} a^{2} & (a + 1)^{2} & (a + 2)^{2} & (a + 3)^{2} \\ b^{2} & (b + 1)^{2} & (b + 2)^{2} & (b + 3)^{2} \\ c^{2} & (c + 1)^{2} & (c + 2)^{2} & (c + 3)^{2} \\ d^{2} & (d + 1)^{2} & (d + 2)^{2} & (d + 3)^{2} \end{array} | = 0;

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23. 证明：

\begin{aligned} | \begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{4} & b^{4} & c^{4} & d^{4} \end{array} | \\ = & (a - b) (a - c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d) (a + b + c + d) \end{aligned}

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24. 证明：

| \begin{array}{cccc} x & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & - 1 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array} | = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

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25.

D_{n} = | \begin{array}{lll} a & 1 \\ ⋱ \\ 1 & a \end{array} |

,其中对角线上元素都是

a

,未写出的元素都是 0 ;

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26. 计算

D_{n} = | \begin{array}{cccc} x & a & \dots & a \\ a & x & \dots & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a & a & \dots & x \end{array} |

;

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27. 计算

D_{n + 1} = | \begin{array}{cccc} a^{n} & (a - 1)^{n} & \dots & (a - n)^{n} \\ a^{n - 1} & (a - 1)^{n - 1} & \dots & (a - n)^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a & a - 1 & \dots & a - n \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{array} |

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28. 计算

D_{2 n} = | \begin{array}{lllllll} a_{n} & b_{n} \\ ⋱ & . \\ a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \\ . & ⋱ \\ c_{n} & d_{n} \end{array} |

未写的元素都是0

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29. 计算

D_{n} = | \begin{array}{cccc} 1 + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & 1 + a_{2} & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & 1 + a_{n} \end{array} |

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30. 计算

D_{n} = \det (a_{i j})

, 其中

a_{i j} = | i - j |

;

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31. 计算

D_{n} = | \begin{array}{cccc} 1 + a_{1} & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 + a_{2} & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & \dots & 1 + a_{n} \end{array} |

, 其中

a_{1} a_{2} \dots a_{n} \neq 0

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