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函数练习卷

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 方程

\arcsin x = k x

在

x \in [0, 1]

只有一个解, 那么

k

的取值范围是

A.

(1, \frac{π}{2}]

B.

k ⩾ \frac{π}{2}

或者

k < 1

C.

k > \frac{π}{2}

或者

k ⩽ 1

D.

k = 1

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2. 函数

f (x) = \frac{(x + 1) | x - 1 |}{e^{\frac{1}{x - 2}} \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 若

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

, 且

a \neq 0

, 则当

n

充分大时有

A.

| a_{n} | > \frac{| a |}{2}

B.

| a_{n} | < \frac{| a |}{2}

C.

a_{n} > a - \frac{1}{n}

D.

a_{n} < a + \frac{1}{n}

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4. 当

x \to 0

时,变量

\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}

是

A.

无穷小.

B.

无穷大.

C.

有界的, 但不是无穷小.

D.

无界的, 但不是无穷大.

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5. 函数

f (x) = x \sin x

A.

当

x \to \infty

时为无穷大.

B.

在

(- \infty, + \infty)

内有界.

C.

在

(- \infty, + \infty)

内无界.

D.

当

x \to \infty

时有有限极限.

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6. 若

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

, 则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}}

为

A.

B.

C.

D.

\infty

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7. 当

x \to 1

时, 函数

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限

A.

等于 2 .

B.

等于 0 。

C.

为

\infty

。

D.

不存在但不为

\infty

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8. 已知极限

lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^{k}} = c

, 其中

k, c

为常数, 且

c \neq 0

, 则

A.

k = 2, c = - \frac{1}{2}

B.

k = 2, c = \frac{1}{2}

C.

k = 3, c = - \frac{1}{3}

D.

k = 3, c = \frac{1}{3}

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9. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - (a x + b x^{2})}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 1, b = - \frac{5}{2}

B.

a = 0, b = - 2

C.

a = 0, b = - \frac{5}{2}

D.

a = 1, b = - 2

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10. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内单调有界,

{x_{n}}

为数列, 下列命题正确的是

A.

若

{x_{n}}

收敛,则

{f (x_{n})}

收敛.

B.

若

{x_{n}}

单调, 则

{f (x_{n})}

收敛.

C.

若

{f (x_{n})}

收敛, 则

{x_{n}}

收敛。

D.

若

{f (x_{n})}

单调, 则

{x_{n}}

收敛.

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11. 设数列通项

x_{n} = {\begin{cases} \frac{n^{2} + \sqrt{n}}{n}, & n 为奇数, \\ \frac{1}{n}, & n 为偶数. \end{cases}

则当

n \to \infty

时,

x_{n}

是

A.

无穷大量.

B.

无穷小量.

C.

有界变量.

D.

无界变量.

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12. . 当

x \to 0

时, 若

x - \tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小, 则

k =

A.

1 .

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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13. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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14. 设

x \to 0

时,

e^{\tan x} - e^{x}

与

x^{n}

是同阶无穷小, 则

n

为

A.

1 .

B.

2 .

C.

3 .

D.

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 设

f (x) = (x - 1) (x - 3)^{3} (x - 5)^{5} (x - 7)^{7}

, 则

f^{''''} (3) =

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16. 已知

x = 0

是

f (x) = \frac{x + b \ln (1 + x)}{a x - \sin x}

的可去间断点，求

a, b

的取值范围

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设函数

f (x) = {\begin{cases} e^{x} (\sin x + \cos x), x \leq 0, \\ a x^{2} + b x + c, x > 0, \end{cases}

试确定常数

a, b, c

的值使得

f^{''} (x)

在

(- \infty, + \infty)

内处处存在.

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18. 设

f (x)

二阶可导并且

f (x)

具有反函数

f^{- 1} (x), f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{f^{- 1} (x)}]

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19. 求

lim_{x \to 0} {(\frac{\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{x})}^{\frac{1}{\ln^{2} (1 + x)}}

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20. 求极限:

lim_{n \to \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \dots \cos \frac{x}{2^{n}}

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21. 计算极限:

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2}} + \sin \frac{3}{n^{2}} + \dots + \sin \frac{2 n - 1}{n^{2}})

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22. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x}

解

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23. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x}) - 2 x \ln 2]

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24. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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25. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}

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26. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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27. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin \sin \cos x - \sin \sin 1}{\cos \cos \cos x - \cos \cos 1}

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