设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x), x \leq 0, \\ a x^2+b x+c, \quad x > 0,\end{array}\right.$ 试确定常数 $a, b, c$ 的值使得 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处存在.
【答案】 【参考解答】: 由函数表达式可知,要使得 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处存在,只需 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在即可. 从而需要 $f(x), f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 连续. 于是由函数连续的定义,分段点导数存在性的判定方法,得
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(a x^2+b x+c\right)=c=f(0)=1
$$
即 $c=1$. 当 $x=0$ 时,有
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a x^2+b x+1-1}{x}=b=f_{+}^{\prime}(0) \\
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^x(\sin x+\cos x)-1}{x} \\
=& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} 2 \mathrm{e}^x \cos x=2=f_{-}^{\prime}(0)
\end{aligned}
$$
由函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导,得 $b=2$. 从而可得
$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}
2 \mathrm{e}^x \cos x, x \leq 0 \\
2 a x+b, x > 0
\end{array}\right.
$$
由于 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, 又
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 a x+2-2}{x}=2 a=f_{+}^{\prime \prime}(0) \\
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 \mathrm{e}^x \cos x-2}{x} \\
=& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} 2 \mathrm{e}^x(\cos x-\sin x)=2=f_{-}^{\prime \prime}(0)
\end{aligned}
$$
故得 $2 a=2$ ,即 $a=1$. 于是当 $a=1, b=2, c=1$ 时, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处存在.


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