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概率论期末复习

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A, B, C

三个事件两两独立, 则

A, B, C

相互独立的充分必要条件是

A.

A

与

B C

独立.

B.

A B

与

A \cup C

独立.

C.

A B

与

A C

独立.

D.

A \cup B

与

A \cup C

独立.

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2. 假设随机变量

X

与

Y

相互独立且都服从参数为

λ

的指数分布, 则下列变量中服从参数为

2 λ

的指数分布的是

A.

X + Y

B.

X - Y

C.

max (X, Y)

D.

min (X, Y)

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3. 设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2}) . X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，据此样本检测：假设

H_{0} : μ = μ_{0}, H_{1} : μ \neq μ_{0}

，则

A.

如果在检验水平

α = 0.05

下拒绝

H_{0}

, 那么在检验水平

α = 0.01

下必拒绝

H_{0}

。

B.

如果在检验水平

α = 0.05

下拒绝

H_{0}

, 那么在检验水平

α = 0.01

下必接受

H_{0}

。

C.

如果在检验水平

α = 0.05

下接受

H_{0}

, 那么在检验水平

α = 0.01

下必拒绝

H_{0}

D.

如果在检验水平

α = 0.05

下接受

H_{0}

, 那么在检验水平

α = 0.01

下必接受

H_{0}

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4. 设

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本, 来自总体

X \sim N (μ, σ^{2})

, 其中

μ, σ

是未知参数, 则以下是统计量的是（）。

A.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n^{2} E (\bar{X})

B.

X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} - n μ

C.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n \sqrt{S^{2}}}

D.

\frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n σ}

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{16}

是来自正态总体

N (μ, 2^{2})

的样本, 样本均值为

\bar{X}

, 则在显著性水平

α = 0.05

下检验假设

H_{0} : μ = 5, H_{1} : μ \neq 5

的拒绝域为

(Φ (1.96) = 0.975, Φ (1.65) = 0.95)

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6. 设随机变量

X \sim P (1), Y \sim e (1)

, 即

f (y) = {\begin{array}{cc} e^{- y}, & y > 0, \\ 0, & y \leq 0; \end{array}

且相关系数

R (X, Y) = - \frac{1}{2}

，
则

E (X + Y) =

；

D (X + Y) =

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7. 已知二维随机变量

(X, Y)

的分布律为

则

P {X = 2 Y} =

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8. 已知二维随机变量

(X, Y)

在矩形区域

D = {(x, y) ∣ 1 ⩽ x ⩽ 2, 0 ⩽ y ⩽ 2}

上服从均匀分布, 则

P (X ⩾ 1 ∣ Y ⩾ 1} =

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为

0.05, 0.15, 0.30

; 如果 “谨慎的” 被保险人占

20 %

, “一般的占

50 %

, “冒失的” 占

30 %

, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。

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10. 已知

X \sim N (μ, σ^{2}), Y = e^{X}

.
(1) 求随机变量

Y

的分布函数;
(2) 设

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}

是总体

Y

的简单随机样本, 若

σ^{2}

已知, 求参数

μ

的矩估计量;
(3) 若

σ^{2}

未知, 求参数

μ

与

σ^{2}

的最大似然估计量.

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11. 设二维连续型随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {\begin{cases} 6 x, & 0 ⩽ x < 1, 0 ⩽ y < 1 - x, \\ 0, & 其他. \end{cases}

求随机变量

Z = X + Y

的概率密度.

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12. 设连续型随机变量

X

的密度函数为:

φ (x) = {\begin{array}{lc} \frac{1}{2} x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & 其它 \end{array}

求：
1)

P {| 2 X - 1 | < 2}

；
2)

Y = X^{2}

的密度函数

φ_{Y} (y)

；
3)

E (2 X - 1)

;

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13. 设二维离散型随机变量

(X, Y)

的概率分布的部分数据如下:

已知

E (X) = 0

, 且

X

与

Y

不相关.
(I) 试将分布中的其余数据填人空白处;
(II) 试问

X

与

Y

是否独立?
(III) 求

Cov (X, Y^{2})

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14. 在针织品漂白工艺过程中, 需要考察温度对针织品断裂强度的影响。假设在 80 摄氏度时, 针织品的断裂强度服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 现获得来自该总体的一个简单样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

, 其样本值为:

1.3, 1.2, 1.2, 1.5, 1.1

(1) 求

μ

的置信水平为 0.9 的置信区间; (2) 如果

σ = 0.5

时, 认为该批次针织品的断裂强度是稳定的, 在显著性水平为 0.05 时, 通过该样本值判断针织品的断裂强度是否稳定.

(

上分位数表

t_{0.05} (4) = 2.13, t_{0.05} (5) = 2.01, χ_{0.05}^{2} (4) = 9.5, χ_{0.95}^{2} (4) = 0.7, χ_{0.025}^{2} (4) =

11.1, χ_{0.975}^{2} (4) = 0.5)

。

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15. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本,

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2 λ} e^{- \frac{| x |}{λ}} (- \infty < x < + \infty, λ > 0) .

(I) 求参数

λ

的矩估计量

{\hat{λ}}_{1}

;
(II) 求参数

λ

的最大似然估计量

{\hat{λ}}_{2}

;
(III) 判断

{\hat{λ}}_{2}

是否为

λ

的无偏估计量, 并说明理由.

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