一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A, B, C$ 三个事件两两独立, 则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 与 $B C$ 独立.
$\text{B.}$ $A B$ 与 $A \cup C$ 独立.
$\text{C.}$ $A B$ 与 $A C$ 独立.
$\text{D.}$ $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立.
假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则下列变量中服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的是
$\text{A.}$ $X+Y$.
$\text{B.}$ $X-Y$.
$\text{C.}$ $\max (X, Y)$.
$\text{D.}$ $\min (X, Y)$.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right) . X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，据此样本检测：假设 $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ ，则
$\text{A.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$, 那么在检验水平 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$ 。
$\text{B.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$, 那么在检验水平 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$ 。
$\text{C.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 那么在检验水平 $\alpha=0.01$ 下必拒绝 $H_0$.
$\text{D.}$ 如果在检验水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$, 那么在检验水平 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$.
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是简单随机样本, 来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma$ 是未知参数, 则以下是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n^2 E(\bar{X})$
$\text{B.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n \mu$
$\text{C.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sqrt{S^2}}$
$\text{D.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sigma}$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, 2^2\right)$ 的样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 则在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下检验假设 $H_0: \mu=5, H_1: \mu \neq 5$ 的拒绝域为 $\qquad$ . $(\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.65)=0.95)$
设随机变量 $X \sim P(1), Y \sim e(1)$, 即 $f(y)=\left\{\begin{array}{cc}e^{-y}, & y>0, \\ 0, & y \leq 0 ;\end{array}\right.$ 且相关系数 $R(X, Y)=-\frac{1}{2}$ ，
则 $E(X+Y)=$ $\qquad$ ； $D(X+Y)=$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为
则 $P\{X=2 Y\}=$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形区域 $D=\{( x , y ) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 上服从均匀分布, 则 $P(X \geqslant 1 \mid Y \geqslant 1\}=$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为 $0.05,0.15,0.30$; 如果 “谨慎的” 被保险人占 $20 \%$, “一般的占 $50 \%$, “冒失的” 占 $30 \%$, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。
已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=\mathrm{e}^X$.
(1) 求随机变量 $Y$ 的分布函数;
(2) 设 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是总体 $Y$ 的简单随机样本, 若 $\sigma^2$ 已知, 求参数 $\mu$ 的矩估计量;
(3) 若 $\sigma^2$ 未知, 求参数 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的最大似然估计量.
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}6 x, & 0 \leqslant x < 1,0 \leqslant y < 1-x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度.
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为:
$$
\varphi(x)=\left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{2} x, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求：
1) $P\{|2 X-1| < 2\}$ ；
2) $Y=X^2$ 的密度函数 $\varphi_Y(y)$ ；
3) $E(2 X-1)$;
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布的部分数据如下:
已知 $E(X)=0$, 且 $X$ 与 $Y$ 不相关.
(I) 试将分布中的其余数据填人空白处;
(II) 试问 $X$ 与 $Y$ 是否独立?
(III) 求 $\operatorname{Cov}\left(X, Y^2\right)$.
在针织品漂白工艺过程中, 需要考察温度对针织品断裂强度的影响。假设在 80 摄氏度时, 针织品的断裂强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现获得来自该总体的一个简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$, 其样本值为: $1.3,1.2,1.2,1.5,1.1$
(1) 求 $\mu$ 的置信水平为 0.9 的置信区间; (2) 如果 $\sigma=0.5$ 时, 认为该批次针织品的断裂强度是稳定的, 在显著性水平为 0.05 时, 通过该样本值判断针织品的断裂强度是否稳定.
$\left(\right.$ 上分位数表 $t_{0.05}(4)=2.13, t_{0.05}(5)=2.01, \chi_{0.05}^2(4)=9.5, \chi_{0.95}^2(4)=0.7, \chi_{0.025}^2(4)=$ $\left.11.1, \chi_{0.975}^2(4)=0.5\right)$ 。
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{2 \lambda} e^{-\frac{|x|}{\lambda}} \quad(-\infty < x < +\infty, \lambda>0) .
$$
(I) 求参数 $\lambda$ 的矩估计量 $\hat{\lambda}_1$;
(II) 求参数 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}_2$;
(III) 判断 $\hat{\lambda}_2$ 是否为 $\lambda$ 的无偏估计量, 并说明理由.