一、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
求解如下微分方程通解.
$y^{\prime \prime}+y=\sec x$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}(x-1)^n$ 的收敛半径与收敛区间。
设 $\mathrm{u}=x^2+x y^2+y^3$. 则 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=$
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
二、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设立体区域 $\Omega$ 是由 $O y z$ 面曲线 $y^2+z^4-4 z^2=0, z \geq 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $O x y$ 平面所围成的点 $(x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $z=u(x, y, z)$, 求重心坐标.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
求函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+2 t)}{t} \mathrm{~d} t$ 的麦克劳林级数级数.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(n \sin \frac{1}{n}-1\right)$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x+y \geqslant 0\right\}$, 求 $\iint_D \frac{1+x y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma$.