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定积分训练2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

I_{k} = \int_{0}^{k π} e^{x^{2}} \sin x d x (k = 1, 2, 3)

，则有

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

C.

I_{2} < I_{3} < I_{1}

D.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

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2. 设三个积分分别为

\begin{matrix} M = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{1 + x^{2}} \cos^{4} x d x, \\ N = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{4} x) d x, \\ P = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{2} \sin^{3} x - \cos^{4} x) d x, \end{matrix}

则

A.

N < P < M

B.

M < P < N

C.

N < M < P

D.

P < M < 1

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3. 设反常积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{x | \ln x |^{a} \cos^{b} 2 x} d x

收敛,则

A.

a < 1, b < 1

B.

a < 1, b > 1

C.

a > 1, b < 1

D.

a > 1, b > 1

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上具有连续导数，且

| f (x) | \leq 1, f^{'} (x) > 0, x \in (- \infty, + \infty),

证明：对于

0 < α < β

，成立

lim_{n \to \infty} \int_{α}^{β} f^{'} (n x - \frac{1}{x}) d x = 0

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5. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，且

F (x) = \int_{0}^{x} (x - 2 t) f (t) d t ，

试证: (1) 若

f (x)

为偶函数，则

F (x)

也是偶函数；
(2) 若

f (x)

单调不增，则

F (x)

单调不减.

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\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{1} \frac{\arctan x}{x^{5}} d x =

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\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^{2}} d x =

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8. 设

f (x)

连续且

f (x + 2) - f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, \int_{0}^{2} f (x) d x = \frac{π}{2}

，则

\int_{1}^{3} f (x) d x =

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9. 设

f (x) = {\begin{cases} x + x^{2}, & x < 0 \\ e^{x}, & x \geq 0 \end{cases}

, 则

\int_{1}^{3} f (x - 2) d x =

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10.

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{1 + 2 a \cos θ + a^{2}} d θ

, 其中实数

a > 1

;

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11. 计算

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} d y =

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12. 可微函数

f (x)

满足

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{1} f (x) d x

, 且

f (0) = 1

, 则

f (x) =

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13. 求

\int_{- 1}^{1} {(2 x + \sqrt{1 - x^{2}})}^{2} d x

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三、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 计算不定积分

\int \frac{x \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{{(1 - x^{2})}^{2}} d x

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15. 设

f (x) = e^{- x}

; 求

\int \frac{f^{'} (\ln x)}{x} d x

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16. 设

f (x)

二阶可导并且

f (x)

具有反函数

f^{- 1} (x), f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 求

lim_{x \to 0} [\frac{1}{f (x)} - \frac{1}{f^{- 1} (x)}]

。

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17. 计算

lim_{n \to \infty} [\sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{2} + k} - \frac{n}{3}]

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18. 设

n

为给定的正整数，

[x]

表示

x

的取整，

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln \sin t d t = - \frac{1}{2} π \ln 2

. 计算

I = \int_{0}^{1} [n x] \cdot \frac{\ln x + \ln (1 - x)}{\sqrt{x (1 - x)}} d x .

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19. 设

f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n} \ln x

, 计算

\int_{0}^{1} f (x) d x

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20. 求函数

f (x) = \frac{2 x \sin θ}{1 - 2 x \cos θ + x^{2}}

在

x = 0

的泰勒展开。其中

θ

是常数. 并计算积分

\int_{0}^{π} \ln (1 - 2 x \cos θ + x^{2}) d θ

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21. 证明

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin x}{x} d x = \frac{π}{2}

, 并计算

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sin^{2} (x y)}{x^{2}} d x

。

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22. 设函数

f (x)

于

[0, + \infty)

上连续, 且满足

f (x) = \frac{1}{x^{2} + {(\int_{0}^{x} f (t) d t + \sqrt{3})}^{2}},

(1) 证明: 反常积分

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x

收玫, 且其值小于

\frac{π}{2 \sqrt{3}}

;
(2) 设数列

{x_{n}}_{n = 1}^{\infty}

满足

x_{n + 1} = \int_{0}^{x_{n}} f (t) d t, n \geq 1, x_{1} \geq 0

, 试证:

lim_{n \to + \infty} x_{n}

存在且有限。

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23. 计算积分

\int_{0}^{+ \infty} e^{- \frac{1}{4 s}} s^{- \frac{3}{2}} e^{- s} d s

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24. 求解以下问题
(1). 证明方程

(x + 1)^{x + 1} = e \cdot x^{x}

只有唯一正实根
(2). 若

f (x)

二阶可导,

p (x) = x - x^{2}

，证明：

\int_{k}^{k + 1} f (x) d x = \frac{f (k + 1) + f (k)}{2} - \int_{k}^{k + 1} f^{''} (x) p (x - [x]) d x

其中

[x]

为取整函数.
(3) 若

β

为(1)中方程的正实根，计算

lim_{n \to + \infty} (β + \frac{1}{n}) (β + \frac{2}{n}) \dots (β + \frac{n}{n})

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25. 求

lim_{x \to 0} [\frac{\int_{0}^{x} e^{- t} \cos t d t}{\ln^{2} (1 + x)^{0}} - \frac{1}{x}]

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26. 计算

I = \int \frac{e^{- \sin x} \sin 2 x}{\sin^{4} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})} d x

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27. 求积分

\int_{1}^{+ x} \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{5} + x^{10}}}

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28. 设

f (x)

在

[0, 1]

上有连续的导数且

f (0) = 0

. 求证:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x ⩽ 4 \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} {| f^{'} (x) |}^{2} d x,

并求使上式成为等式的

f (x)

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29. 计算积分

\int_{0}^{1} \frac{1}{x + \sqrt{1 - x^{2}}} d x

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