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题号:10244 题型:解答题 来源:第十五届大学生数学竞赛初赛试题及参考解答（B）
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有连续的导数且 $f(0)=0$. 求证:
$\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \leqslant 4 \int_0^1(1-x)^2\left|f^{\prime}(x)\right|^2 \mathrm{~d} x,$
并求使上式成为等式的 $f(x)$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
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