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定积分练习题1

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

本试卷由kmath.cn自动生成。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

为已知连续函数,

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

, 其中

t > 0, s > 0

, 则

I

的值 ( )

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

, 不依赖于

s

D.

依赖于

s

, 不依赖于

t

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2. 设

f (x)

是连续函数, 且

f^{'} (x) = [f (x)]^{2}

, 则

F^{'} (x)

等于

A.

- e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

B.

- e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

C.

e^{- x} f (e^{- x}) + f (x)

D.

e^{- x} f (e^{- x}) - f (x)

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lim_{n \to \infty} \frac{π}{2 n^{4}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i^{2} \sin \frac{π j}{2 n} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{5}

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4. 以下说法正确的是( ).

A.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上有定义，则

f (x)

在区间

[a, b]

上可积

B.

如果

f (x)

在区间

[a, b]

上可积，则

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

x \in [a, b]

可导

C.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上连续，

c \in (a, b)

，则

\frac{d}{d x} \int_{c}^{x} f (t) d t = f (x)

D.

如果

f (x)

是定义在区间

[- a, a] (a > 0)

上的奇函数，则

\int_{- a}^{a} f (t) d t = 0

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5. 设积分

I = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + x^{a}) \ln (1 + x^{b})} d x

, 其中

a > 0, b > 0

, 若该积分收玫, 则必有

A.

0 < a < 1, 0 < b < 1

B.

0 < a < 1, b > 1

C.

a > 1, 0 < b < 1

D.

a > 1, b > 1

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lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{n}{(n + i) (n^{2} + j^{2})} =

A.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

B.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

C.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y)} d y

D.

\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x) (1 + y^{2})} d y

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7. 设

I = \int \arctan x d x

, 则

I =

A.

x \arctan x - \ln \sqrt{x^{2} + 1} + C

B.

x \arctan x - \ln | x^{2} + 1 | + C

C.

x \arctan x + \frac{1}{2} (x^{2} + 1) + C

D.

\frac{1}{1 + x^{2}} + C

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8. 下列广义积分收敛的是

A.

\int_{1}^{+ \infty} \ln x d x

B.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} d x

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} d x

D.

\int_{1}^{+ \infty} e^{x} d x

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9. 设

f (x)

连续, 且

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} = 1, α (x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{\ln (1 + t^{+})}{f (t)} d t, β (x) = \int_{0}^{\sin x} \frac{\sqrt{1 + t^{3}} - 1}{f (t)} d t

, 则当

x \to 0^{+}

时,

α (x)

是

β (x)

的

A.

等价无穷小

B.

同阶但非等价的无穷小

C.

高阶无穷小

D.

低阶无穷小

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二、填空题（共 10 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 若

f (t) = lim_{x \to \infty} t {(1 + \frac{1}{x})}^{2 t x}

, 则

f^{'} (t) =

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11. 计算广义积分

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{(1 + | x |) \sqrt{| x (1 - x) |}} d x =

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12. 设

f (x) = \int_{- x}^{x} \frac{\sin x t}{t} d t, x \neq 0

, 则

\int x^{2} f^{'} (x) d x =

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13. 设

α

为实数, 则

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{(1 + x^{2}) (1 + x^{a})} =

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14. 若

f (x)

有连续导数，且

\int_{0}^{π} f (x) \sin x d x = k, f (π) = - 2, f (0) = 5,

则

\int_{0}^{π} f^{'} (x) \cos x d x =

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15. 计算积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin \frac{2 n + 1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} d x

，其中

n

为正整数.

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16. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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17. 设

f (x) = \int_{- 1}^{x} \frac{t^{2} + t}{t^{6} + 1} d t

, 则

f (1) =

________ ,

f^{'} (1) =

________

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18. 已知

e^{- x}

是

f (x)

的一个原函数, 则

\int x^{2} f (\ln x) d x =

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19.

\int \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} d x

;

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 计算

\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{e^{x} - 1} d x

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21. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{e^{x}}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})

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22. 求曲线

y = \ln x (2 \leq x \leq 6)

的一切线，使得该切线与直线

x = 2 ， x = 6

及曲线

y = \ln x

围成图形面积

A

最小。

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23. 求

\int \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}} d x

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24. 求

\int \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{3} + x^{6}}}

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