一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$, 则下面结论:
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ 可逆;(2) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$; (3) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆; (4) $(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解.
正确的共有
$\text{A.}$ 1 个.
$\text{B.}$ 2 个.
$\text{C.}$ 3 个.
$\text{D.}$ 4 个.
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+k x_2+x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 有零解, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $k$ 必定为 0
$\text{B.}$ $k$ 必定为 1
$\text{C.}$ $k$ 为 0 或 1
$\text{D.}$ 这样的 $k$ 值不存在
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
向量组 $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个零向量
$\text{B.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有两个向量成比例
$\text{C.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中每个向量都能由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3\end{array}\right.$ 无解, 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}d_1 \\ d_2 \\ d_3\end{array}\right],\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\end{array}\right)$ 为分块 矩阵, 则下列说法正确的是 ( )
(1). $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
(2). 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
(3). $R(Ab) -R(A)=2$ 是可能成立的
(4). $\boldsymbol{b}$ 的模长一定不是 0
$\text{A.}$ (1)(4)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)
$\text{D.}$ (2)(4)
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
二、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1) 设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵, 求证: $r\left(A^{\mathrm{T}} A\right)=r(A)$.
(2) 设 $A$ 为三阶方阵, 向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 的分别属于特征值 $-1,1$ 的特征向量, 而 $\alpha_3$ 满足 $A \alpha_3=\alpha_2+\alpha_3$. 求证: 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关.
设向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 是线性空间 $V$ 的两个基, $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, 若 $\alpha_1=\beta_1-\beta_2, \alpha_2=\beta_2-\beta_3, \alpha_3=2 \beta_3-\beta_1$, 且 $T\left(\alpha_1\right)=\beta_1+\beta_2, T\left(\alpha_2\right)=\beta_2+\beta_3, T\left(\alpha_3\right)=\beta_3+\beta_1$,
1）求由基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 到基 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 的过渡矩阵 $C$;
2）求线性变换 $T$ 在两个基 $\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\}$ 与 $\left\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\right\}$ 下的矩阵 $A$ 与 $B$.
设有 5 个向量
$
\boldsymbol{\alpha}_1=(3,1,2,5), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,1,2), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{llll}
2, & 0,1,3
\end{array}\right)
$
$\boldsymbol{\alpha}_4=(1,-1,0,1), \boldsymbol{\alpha}_5=(4,2,3,7) .$
求此向量组中的一个极大线性无关组, 并用它表示其余的向量.
设 $\mathbb{R}$ 为实数域, $V$ 是以 0 为极限的实数数列全体, 即
$$
V=\left\{\left\{a_n\right\} \mid a_n \in \mathbb{R}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0\right\}
$$
在 $V$ 中定义加法与数乘运算: $\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, k\left\{a_n\right\}=\left\{k a_n\right\}, k \in \mathbb{R}$, 则 $V$ 构成实数域 $\mathbb{R} $上 的线性空间(不需要证明).
请证明: $V$ 是无穷维的线性空间.