一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_{3 j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,1)$. 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ -3
设 $A, B$ 为满足 $A B=0$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{B.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
设非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1$ 有解, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_2$ 无解, 对于任意常数 $k$, 必有
$\text{A.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{B.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=k \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
$\text{C.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定有解
$\text{D.}$ 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_1+k \boldsymbol{\beta}_2$ 一定无解
设 $A$ 为 3 阶方阵, $|A|=a \neq 0$, 则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ $a$
$\text{B.}$ $a^2$
$\text{C.}$ $a^3$
$\text{D.}$ $a^4$
向量组 $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个零向量
$\text{B.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有两个向量成比例
$\text{C.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中每个向量都能由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示
设 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x+n\end{array}\right|$
, 则 $f^{(n-1)}(0)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} n(n+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(n+1) !$.
$\text{C.}$ $n !$.
$\text{D.}$ $(n+1)$ !.
设 $r(A)$ 和 $r(B)$ 分别表示某 $n$ 元非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩, 该方程组有解 当且仅当
$\text{A.}$ $r(A) < n$
$\text{B.}$ $r(A)>r(B)$
$\text{C.}$ $r(A) < r(B)$
$\text{D.}$ $r(A)=r(B)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量. 下列命题中, 错误的 是
$\text{A.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{B.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{C.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=0$ 有非零解.
$\text{D.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=0$ 有非零解.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
二、判断题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 但不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示, 则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}, \beta$ 等价.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,3$, $0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足的条件是
设矩阵方程 $\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] X=\left[\begin{array}{cc}4 & -6 \\ 2 & 1\end{array}\right]$, 则 $X=$
设 $D_4=\left|\begin{array}{llll}2 & 3 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 6 & 1\end{array}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式为 $A_{i j}$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}=$
线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+x_2+x_3+x_4=1 \\ x_2-x_3+2 x_4=1 \\ 2 x_1+3 x_2+(a+2) x_3+4 x_4=b \\ 3 x_1+5 x_2+x_3+(a+8) x_4=5\end{array}\right.$ 无解的充要条件是
四、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算下列行列式的值.
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & 2+a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & 3+a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 4+a_4
\end{array}\right|
$$
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$ ，求 $A^2, A^3, A^4, \cdots, A^n$.
设 $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，求 $A^n$.
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 矩阵 $X$ 满足如 下矩阵表达式: $A X A+B X B=A X B+B X A+E$, , 其中 $E$ 为三阶单位矩阵, 求矩阵 $X$.
给定矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1\end{array}\right]$, 计算
(1) $|A|$
(2) $A^{-1}$
(3) $A A^T$
(4) 设有矩阵方程 $A X=2 X+A$, 求 $X$
设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足条件: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A B}$.
(1) 证明: $\mathbf{A}-\mathbf{E}$ 是可逆矩阵, 其中 $\mathbf{E}$ 是 $n$ 阶单位.
(2) 已知矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $\mathbf{A}$.
设 4 阶矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right]$, 求 $\mathbf{A}^{100}$.
$p=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17\end{array}\right)-\frac{1}{30^{2022}}\left(p p^T\right)^{2023}, B=\left(\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
(1)、求矩阵 $A$
(2) 、若 $X$ 满足 $X\left(E-B^{-1} A\right)^T B^T=E$, 求矩阵 $X$
设 $A=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 3 & 0\end{array}\right)$ ，若 $R(A B+B)=2$ ， 求 $a$.
当 $a, b$ 为何值时, 方阵组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+3 x_3+x_4=2 \\ x_1+3 x_2+x_3+3 x_4=6 \\ x_1-5 x_2+12 x_3+b x_4=-4 \\ 3 x_1-x_2+15 x_3-x_4=a\end{array}\right.$ 无解, 唯一解, 无穷多解, 并求 出无穷多解时的通解。
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，而 $\mathbf{n} \geq 2$ 为正整数，则 $\mathbf{A}^n-2 \mathbf{A}^{n-1}=$
设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right]$. $\mathbf{E}$ 为四阶单位矩阵，且 $\mathbf{B}=(\mathbf{E}+\mathbf{A})^{-1}(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ ，则 $(\mathbf{E}+\mathbf{B})^{-1}=$