一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
记 $I=\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, J=\int_0^1 \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $\sin 1>I$
$\text{B.}$ $I>1$
$\text{C.}$ $J < \tan 1$
$\text{D.}$ $J < 1$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\arcsin x)-x}{x^3}=$
设 $a_n, b_n>0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ 且 $\int_{\sin a_n}^{a_n} e^{x^2} \mathrm{~d} x=b_n \ln \left(1+b_n\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n^3}{b_n^2}=$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2+3 n^3}\right) \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{n}}$;
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x+\mathrm{e}^{-x^2}-1\right)^{\frac{x}{\arctan x-x}}=$
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\sqrt{e}$, 求 $f^{\prime \prime}(0)$ 的 值.
设 $f(x)=\left(x^3 e^{x^2}+1\right) \sin ^3 x+\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin ^3 x d x$, 求 $f(x)$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导,且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=0$;
(2) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$;
(3) 存在 $\eta \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)-3 f^{\prime}(\eta)+2 f(\eta)=0$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^4}\left[\ln \left(1+\sin ^2 x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)\right]$
求极限 $$\lim _{x \rightarrow 0} \int_0^x\left(\dfrac{\arctan t}{t}\right)^{\dfrac{1}{\int_0^t \ln (1+u) d u}} \cot x d t$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
计算不定积分 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} \mathrm{~d} x$.
计算积分 $\int_0^1 x^m(\ln x)^n \mathrm{~d} x$ ，其中 $m, n$ 为自然数.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $x_0 \in(0,1)$, 使得 $f\left(x_0\right)=1-x_0$;
(2) 存在两个不同的点 $x_1, x_2 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right)=1$.
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} \cos x d x}{\ln \left(1+x^2\right)}$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}$
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2+k}-\frac{n}{3}\right]$.
设 $n$ 为给定的正整数， $[x]$ 表示 $x$ 的取整， $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \pi \ln 2$. 计算
$$
I=\int_0^1[n x] \cdot \frac{\ln x+\ln (1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x .
$$
求一组使得极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(\sqrt{1+t^4}-1\right) d t}{\ln \left(1-x^\alpha\right)}=\beta \neq 0,(\alpha, \beta$ 为实数) 成立的 $\alpha, \beta$ 的值.
函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有一阶连续导数, 且对任意的 $x \in(0,+\infty)$满足 $x \int_0^1 f(t x) d t=2 \int_0^x f(t) d t+x f(x)+x^3$, 且 $f(1)=0$, 求 $f(x)$.
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+2 x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right]$.
求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\cot x}{\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{-2 x} \sin ^2 x}+\frac{1}{x^2}\right)
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=2$. 证明: 存在两两互异的点 $\xi_1, \xi_2, \xi_3 \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right) f^{\prime}\left(\xi_2\right) \sqrt{1-\xi_3} \geq 2$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.