数学

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,2,3), \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,5), \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,-1, a+2,1), \boldsymbol{\alpha}_{4}=(1,2,4, a+8)$ 及 $\boldsymbol{\beta}=$ $(1,1, b+3,5)$.
(1) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 不能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的线性组合?
(2) $a, b$ 为何值时, $\boldsymbol{\beta}$ 有 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的唯一的线性表示式? 并写出该表示式.

设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$, 对应的特征向量依次为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right)$, 又向量 $\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.

（1）将 $\boldsymbol{\beta}$ 用 $\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}$ 线性表出;
（2） 求 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{\beta}(n$ 为自然数).

设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.