求解以下问题
(1). 证明方程 $(x+1)^{x+1}=\mathrm{e} \cdot x^x$ 只有唯一正实根
(2). 若 $f(x)$ 二阶可导, $p(x)=x-x^2$，证明：
$$
\int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(k+1)+f(k)}{2}-\int_k^{k+1} f^{\prime \prime}(x)p(x-[x])dx
$$
其中 $[x]$ 为取整函数.
(3) 若 $\beta$ 为(1)中方程的正实根，计算
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right)
$$