单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有定义，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则
$\text{A.}$ 当 $f(a) f(b) < 0$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$
$\text{B.}$ 对任何 $\xi \in(a, b)$ ，有 $\lim _{x \rightarrow \xi}[f(x)-f(\xi)]=0$
$\text{C.}$ 当 $f(a)=f(b)$ 时，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$
$\text{D.}$ 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$ ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{b_n^2} x^n$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(A B) x=O$
$\text{A.}$ 当 $n>m$ 时仅有零解
$\text{B.}$ 当 $n>m$ 时必有非零解
$\text{C.}$ 当 $m>n$ 时仅有零解
$\text{D.}$ 当 $m>n$ 时必有非零解
设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 对应的伴随矩阵，分块矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)$, 则 $C$ 的伴随矩阵 $C^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| A^* & 0 \\ 0 & |B| B^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| B^* & 0 \\ 0 & |A| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & 0 \\ 0 & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & 0 \\ 0 & |A| B^*\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵. 已知 $n$ 维向量 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则矩阵 $\left(P^{-1} A P\right)^T$属于特征值 $\boldsymbol{\lambda}$ 的特征向量是
$\text{A.}$ $P^{-1} \alpha$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{\alpha}$
$\text{C.}$ $P \alpha$
$\text{D.}$ $\left(P^{-1}\right)^T \alpha$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ ${X}+{Y}$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，
$$
S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n
$$
则根据列维一林德柏格中心极限定理，当 $n$ 充分大时， $S_n$ 近似服从正态分布, 只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$
$\text{A.}$ 有相同的数学期望
$\text{B.}$ 有相同的方差
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一离散型分布
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设常数 $a \neq \frac{1}{2}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left[\frac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}\right]^n=$ $\qquad$
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\ln ^2 x$ ，则
$$
\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=
$$
交换积分次序:
$$
\int_0^{\frac{1}{4}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\frac{1}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right) ， B=A^2-3 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(a, 1,1)^T$
已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $a=$
设向量组 $\alpha_1=(a, 0, c), \alpha_2=(b, c, 0), \alpha_3=(0, a, b)$ 线性无关，则 $a, b, c$ 必须满足关系式
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布为
则 $X^2$ 和 $Y^2$ 的协方差 $\operatorname{cov}\left(X^2, Y^2\right)=$ $\qquad$ ， $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho=$ $\qquad$ .
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & x < \theta\end{array}\right.$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量为 $\qquad$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[\int_0^{u^2} \arctan (1+t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} u}{x(1-\cos x)}$.
设函数 $u=f(x, y, z)$ 有连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $x e^x-y e^y=z e^z$ 所确定，求 $\mathrm{d} u$.
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$.
设闭区域 $D: x^2+y^2 \leq y, x \geq 0 . f(x, y)$ 为 $D$ 上的连
续函数。
$$
f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{8}{\pi} \iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$
求 $f(x, y)$.
设 $D_1$ 是由抛物线 $y=2 x^2$ 和直线 $x=a \cdot x=2$ 及 $y=0$所围成的平面区域； $D_2$ 是由抛物线 $y=2 x^2$ 和直线 $y=0, x=a$ 所围成的平面区域，其中 $0 < a < 2$.
(1) 试求 $D_1$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_1 ; D_2$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_2$;
(2) 问当 $a$ 为何值时， $V_1+V_2$ 取得最大值? 试求此最大值.
设某商品需求量 $Q$ 是价格 $p$ 的单调减少函数: $Q=Q(p)$ ，其需求弹性为 $\eta=\frac{2 p^2}{192-p^2}>0$.
(1) 设 $R$ 为总收益函数，证明: $\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} p}=Q(1-\eta)$.
（2）求 $p=6$ 时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$;
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
设四元齐次方程组 $(I):\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且已知另一四元齐次线性方程组 $(I I)$ 的一个基础解系为
$$
\alpha_1=(2,-1, a+2,1)^T, \alpha_2=(-1,2,4, a+8)^T .
$$
（1）求方程组 $(I)$ 的一个基础解系;
（2）当 $a$ 为何值时，方程组 $(I)$ 与 $(I I)$ 有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且 $g(x)>0$ ，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 $\xi \in[a, b]$ ，使
$$
\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x .
$$
设齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_1+b x_2+b x_3+\cdots+b x_n=0 \\ b x_1+a x_2+b x_3+\cdots+b x_n=0 \\ \cdots \cdots \cdots \\ b x_1+b x_2+b x_3+\cdots+a x_n=0\end{array}\right.$ ，其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ ，试讨论 $a, b$ 为何值时，方程仅有零解、有无穷多解? 在有无穷多个解时，求出全部解，并且基础解系表示全部解.
设实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{array}\right)$ ，求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角形矩阵，并计算行列式 $|A-E|$ 的值.
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 $A^2+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $r(A)=2$ ，
(1) 求 $A$ 得全部特征值;
(2) 当 $k$ 为何值时，矩阵 $A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
设 $A, B$ 是任意二事件，其中 $A$ 的概率不等于 0 和 1. 证明: $P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A})$ 是事件 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件.
假设随机变量 $U$ 在区间 $[-2,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $X=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq-1 \\ 1, & U>-1\end{array}, Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq 1 \\ 1, & U>1\end{array}\right.\right.$. 试求:
(1) $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布 ;
(2) $D(X+Y)$.
假设一设备开机后无故障工作的时间 $\boldsymbol{X}$ 服从指数分布，平均无故障工作的时间 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}$ 为 5 小时. 设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间 $Y$ 的分布函数 $F(y)$.