设四元齐次方程组 $(I):\left\{\begin{array}{l}2 x_1+3 x_2-x_3=0, \\ x_1+2 x_2+x_3-x_4=0,\end{array}\right.$ 且已知另一四元齐次线性方程组 $(I I)$ 的一个基础解系为
$$
\alpha_1=(2,-1, a+2,1)^T, \alpha_2=(-1,2,4, a+8)^T .
$$
（1）求方程组 $(I)$ 的一个基础解系;
（2）当 $a$ 为何值时，方程组 $(I)$ 与 $(I I)$ 有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解.