单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，又 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)}{x-a}=-1$ ，则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ (a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=a$ 不是 $f(x)$ 的极值点， $(a, f(a))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设函数 $g(x)=\int_0^x f(u) \mathrm{d} u$ ，其中
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left(x^2+1\right), 0 \leq x \leq 1 \\
\frac{1}{3}(x-1), 1 \leq x \leq 2
\end{array},\right.
$$
则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内
$\text{A.}$ 无界
$\text{B.}$ 递减
$\text{C.}$ 不连续
$\text{D.}$ 连续
设 $A=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\ a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\ a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\ a_{44} & a_{33} & a_{42} & a_{41}\end{array}\right)$,
$P_1=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ， 其中 $A$ 可逆，则 $B^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1} P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1 A^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_1 P_2 A^{-1}$
$\text{D.}$ $P_2 A^{-1} P_1$
11、设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\alpha$ 是 $n$ 维列向量. 若秩 $\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)=$ 秩
$(A)$ ，则线性方程组
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A X}=\alpha$ 必有无穷多解
$\text{B.}$ $A X=\alpha$ 必有惟一解
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 仅有零解
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 必有非零解
对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，与 $A \cup B=B$ 不等价的是
$\text{A.}$ $A \subset B$
$\text{B.}$ $\bar{B} \subset \bar{A}$
$\text{C.}$ $A \bar{B}=\varnothing$
$\text{D.}$ $\bar{A} B=\varnothing$
将一枚硬市重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的相关系数等于
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设生产函数为 $Q=A L^\alpha K^\beta$ ，其中 $Q$ 是产出量， $L$ 是劳动投入量， $K$ 是资本投入量，而 $A, \alpha, \beta$ 均为大于零的参数，则当 $Q=1$ 时 $K$ 关于 $L$ 的弹性为 $\qquad$
某公司每年的工资总额比上一年增加 $20 \%$ 的基础上再追加 2 百万. 若以 $W_t$ 表示第 $t$ 年的工资总额（单位：百万元），则 $W_t$ 满足的差分方程是 $\qquad$
设 $z=e^{-x}-f(x-2 y)$ ，且当 $y=0$ 时， $z=x^2$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2\end{array}\right|$, 则第四行各元素余子式之和的值为
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$ ，且秩 $(A)=3$ ，则 $k=$
设随机变量 $X, Y$ 的数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 0.5 . 则根据切比雪夫不等式
$$
P\{|X-Y| \geq 6\} \leq
$$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,0.2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量
$Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\qquad$分布，参数为
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $u=f(x, y, z)$ 有连续的一阶偏导数，又函数 $y=y(x)$及 $z=z(x)$ 分别由下列两式确定:
$$
\begin{aligned}
& e^{x y}-x y=2 \text { 和 } e^x=\int_0^{x-z} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t ， \\
& \text { 求 } \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=e, \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-f(x-1)] \text {. }
$$
求 $c$ 的值.
求二重积分 $I=\iint_D y\left[1+x e^{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 围成的平面区域.
某商品进价为 $a$ (元/件)，根据以往经验，当销售价为 $b$ (元/件) 时，销售量为 $c$ 件 $\left(a, b, c\right.$ 均为正常数，且 $\left.b \geq \frac{4}{3} a\right)$.市场调查表明，销售价每下降 $10 \%$ ，销售量可增加 $40 \%$ ，现决定一次性降价，试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润?并求出最大利润.
已知抛物线 $y=p x^2+q x$ (其中 $p < 0, q>0$ ) 在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此抛物线与 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $S$.
(1) 问 $p$ 和 $q$ 为何值时， $S$ 达到最大?
(2) 求出此最大值.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足
$$
f(1)=3 \int_0^{\frac{1}{3}} e^{1-x^2} f(x) \mathrm{d} x
$$
证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x e^{1-x} f(x) \mathrm{d} x,(k>1)
$$
证明至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}$ ，且对所有 $x, t \in(0,+\infty)$ ，满足条件
$$
\int_1^{x t} f(u) \mathrm{d} u=t \int_1^x f(u) \mathrm{d} u+x \int_1^t f(u) \mathrm{d} u .
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
已知 $f_n(x)$ 满足 $f_n^{\prime}(x)=f_n(x)+x^{n-1} e^x$ ( $n$ 为正整数)且 $f_n(1)=\frac{e}{n}$ ，求函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ 之和.
设 $\alpha_i=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots a_{i n}\right)^T(i=1,2, \cdots, r ; r < n)$ 是 $n$维实向量，且 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r$ 线性无关. 己知 $\beta=\left(b_1, b_2, \cdots b_n\right)^T$是线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots a_{1 n} x_n=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots a_{2 n} x_n=0 \\
\cdots \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{r 1} x_1+a_{r 2} x_2+\cdots a_{r n} x_n=0
\end{array}\right.
$$
的非零解向量. 试判断向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r, \beta$ 的线性相关性.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解但不唯一，试求:
(1) $a$ 的值;
(2) 正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵.
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(A)=n, A_{i j}$ 是 $A=\left(a_{i j}\right)_{\mathrm{m} \times n}$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j .
$$
(1) 记 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$;
(2) 二次型 $g(X)=X^T A X$ 与 $f(X)$ 的规范形是否相同? 说明理由.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布在以点 $(0,1),(1,0),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 $U=X+Y$ 的方差.
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数).
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 对联和分布是正方形
$$
G=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 3\}
$$
上的均匀分布，试求随机变量 $U=|X-Y|$ 的概率密度 $p(u)$.