已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=e, \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-f(x-1)] \text {. }
$$
求 $c$ 的值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$