设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解但不唯一，试求:
(1) $a$ 的值;
(2) 正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵.