设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $(A)=n, A_{i j}$ 是 $A=\left(a_{i j}\right)_{\mathrm{m} \times n}$中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，二次型
$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j .
$$
(1) 记 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，把 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f(X)$ 的矩阵为 $A^{-1}$;
(2) 二次型 $g(X)=X^T A X$ 与 $f(X)$ 的规范形是否相同? 说明理由.