单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0$, $y=x^2, x=1$ 所围成的区域，则 $f(x, y)$ 等于
$\text{A.}$ $x y$
$\text{B.}$ $2 x y$
$\text{C.}$ $x y+\frac{1}{8}$
$\text{D.}$ $x y+1$
设向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示，但不能由向量组(I): $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示，记向量组(II): $\alpha_1$, $\alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{m-1}, \boldsymbol{\beta}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_m$ 不能由 (I)线性表示，也不能由(II)线性表示
$\text{B.}$ $\alpha_m$ 不能由 (I) 线性表示，但可由 (II)线性表示
$\text{C.}$ $\alpha_m$ 可由 (I) 线性表示，也可由(II)线性表示
$\text{D.}$ $\alpha_m$ 可由 (I) 线性表示，但不可由(II)线性表示
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则
$\text{A.}$ $\lambda E-A=\lambda E-B$
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 有相同的特征值和特征向量
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 都相似于一个对角矩阵
$\text{D.}$ 对于任意常数 $t, t E-A$ 与 $t E-B$ 相似
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 0 ，则 $D(X+Y)=D X+D Y$ 是 $X$ 和 $Y$
$\text{A.}$ 不相关的充分条件，但不是必要条件
$\text{B.}$ 独立的必要条件，但不是充分条件
$\text{C.}$ 不相关的充要条件
$\text{D.}$ 独立的充要条件
设 $X$ 服从指数分布，则 $Y=\min \{X, 2\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数
$\text{B.}$ 至少有两个间断点
$\text{C.}$ 是阶梯函数
$\text{D.}$ 恰有一个间断点
设随机变量 $X_i \sim\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)(i=1,2)$, 且满足 $P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_1=X_2\right\}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]=$
设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$ ，则 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=$
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z$ $+x y z=0$ 确定的隐函数，则 $f_x^{\prime}(0,1,-1)=$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，而 $n \geq 2$ 为正整数，则
$$
A^n-2 A^{n-1}=
$$
已知 $A B-B=A$, 其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 则 $A=$
设 $\boldsymbol{X}$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松(Poisson)分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$, 则 $\lambda=$
在天平上重复称量一重为 $a$ 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 $N\left(a, 0.2^2\right)$ ，若以 $\overline{X_n}$ 表示 $n$ 次称量结果的算术平均值，则为使
$$
P\left\{\left|\overline{X_n}-a\right| < 0.1\right\} \geq 0.95 ，
$$
则 $n$ 的最小值应不小于自然数
设随机变量 $X_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n ; n \geq 2)$ 独立同分布，
$\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}_{i j}=\mathbf{2}$ ，则行列式 $\boldsymbol{Y}=\left|\begin{array}{llll}\boldsymbol{X}_{11} & \boldsymbol{X}_{12} & \cdots & \boldsymbol{X}_{1 n} \\ \boldsymbol{X}_{21} & \boldsymbol{X}_{22} & \cdots & \boldsymbol{X}_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \boldsymbol{X}_{n 1} & \boldsymbol{X}_{n 2} & \cdots & \boldsymbol{X}_{n n}\end{array}\right|$ 的数学期望 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，且当 $x \geq 0$ 时，
$$
f(x) F(x)=\frac{x e^x}{2(1+x)^2},
$$
已知 $F(0)=1, F(x)>0$ ，试求 $f(x)$.
曲线 $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的切线与 $x$ 轴和 $y$ 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 $a$ ，试求切线方程和这个图形的面积，当切线沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?
计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2$, $y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域.
设生产某种产品必须投入两种要素， $x_1$ 和 $x_2$ 分别为两要素的投入量， $Q$ 为产出量；若生产函数为 $Q=2 x_1^\alpha x_2^\beta$ ，其中 $\alpha, \beta$ 为正常数，且 $\alpha+\beta=1$. 假设两种要素的价格分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，试问: 当产出量为 12 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最少?
设有微分方程 $y^{\prime}-2 y=\varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 & x < 1 \\ 0 & x>1\end{array}\right.$ ，试求在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数 $y=y(x)$ ，使之在 $(-\infty, 1)$ 和 $(1,+\infty)$ 内都满足所给方程，且 $y(0)=0$.
(1) 已知 $f(x)$ 连续， $\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
(2) 设 $f(x)$ 连续，且 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ ，已知 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ 的值.
证明: 当 $0 < x < \pi$ 时，有 $\sin \frac{x}{2}>\frac{x}{\pi}$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导， $f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，试证:
(1) 存在 $\eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使 $f(\eta)=\eta$ ；
(2) 对任意实数 $\lambda$ ，必存在 $\xi \in(0, \eta)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1
$$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ ，其行列式 $|A|=-1$ ，又 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 有一个特征值 $\lambda_0$ ，属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量为 $\alpha=(-1,-1,1)^T$ ，求 $a, b, c$ 和 $\lambda_0$ 的值.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ，问: 当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵? 并求出 $P$ 和相应的对角矩阵.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ a x_1+b x_2+c x_3=0 \\ a^2 x_1+b^2 x_2+c^2 x_3=0\end{array}\right.$
(1) $a, b, c$ 满足何种关系时，方程组仅有零解?
(2) $a, b, c$ 满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解.
设 $A$ 为 $n \times m$ 实矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，已知矩阵 $B=\lambda E+A^T A$ ，试证: 当 $\lambda>0$ 时，矩阵 $B$ 为正定矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，试求边长为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $S$ 的概率密度 $f(s)$.
假设二维随机变量 $(X, Y)$ ，在矩形
$$
G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}
$$
上服从均匀分布，记 $U=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq Y \\ 1 & X>Y\end{array}, V=\left\{\begin{array}{ll}0 & X \leq 2 Y \\ 1 & X>2 Y\end{array}\right.\right.$.
(1) 求 $U$ 和 $V$ 的联合分布; (2) 求 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\rho$.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}_1$ 和 $\boldsymbol{X}_2$ 的概率分布
$$
\begin{aligned}
& X_1 \sim\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{array}\right], X_2 \sim\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right] \\
& \text { 且 } P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1 .
\end{aligned}
$$
(1) 求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布;
(2) 问 $X_1$ 和 $X_2$ 是否独立? 为什么?
设 $X_1, X_2, \cdots X_9$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，
$$
\begin{aligned}
& Y_1=\frac{1}{6}\left(X_1+\cdots+X_6\right), Y_2=\frac{1}{3}\left(X_7+X_8+X_9\right) \\
& S^2=\frac{1}{2} \sum_{i=7}^9\left(X_i-Y_2\right)^2, Z=\frac{\sqrt{2}\left(Y_1-Y_2\right)}{S}
\end{aligned}
$$
证明统计量 $Z$ 服从自由度为 2 的 $t$ 分布.