单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=e^{\frac{1}{x^2}} \arctan \frac{x^2+x-1}{(x-1)(x+2)}$ 的渐近线有
$\text{A.}$ 1 条
$\text{B.}$ 2条
$\text{C.}$ 3 条
$\text{D.}$ 4 条
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，则方程 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t=0$ 在开区间 $(a, b)$ 内的根有
$\text{A.}$ 0个
$\text{B.}$ 1个
$\text{C.}$ 2个
$\text{D.}$ 无穷多个
设常数 $\lambda>0$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \cdot \frac{\left|a_n\right|}{\sqrt{n^2+\lambda}}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\boldsymbol{\lambda}$ 有关
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $A B=0$ ，则 $A$ 和 $B$ 的秩
$\text{A.}$ 必有一个等于零
$\text{B.}$ 都小于 $n$
$\text{C.}$ 一个小于 $\boldsymbol{n}$ ，一个等于 $\boldsymbol{n}$
$\text{D.}$ 都等于 $n$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $C$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，矩阵 $B=A C$ 的秩为 $r_1$ ，则
$\text{A.}$ $r>r_1$
$\text{B.}$ $r < r_1$
$\text{C.}$ $r=r_1$
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $C$ 而定
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,2,4), \alpha_2=(0,3,1,2), \alpha_3=(3,0,7,14)$, $\alpha_4=(1,-2,2,4), \alpha_5=(2,1,5,10)$ ，则该向量组的极大线性无关组是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$
设 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ ，则
$\text{A.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互不相容
$\text{B.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互相对立
$\text{C.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 互不独立
$\text{D.}$ 事件 $A$ 和 $B$ 相互独立
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{aligned}
& S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \\
& S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2
\end{aligned}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_3 / \sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_4 / \sqrt{n}}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-2}^2 \frac{x+|x|}{2+x^2} \mathrm{~d} x=$
已知 $f^{\prime}\left(x_0\right)=-1$, 则
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f\left(x_0-2 x\right)-f\left(x_0-x\right)}=
$$
设方程 $e^{x y}+y^2=\cos x$ 确定的 $y$ 为 $x$ 的函数，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
设 $A=\left[\begin{array}{ccccc}0 & a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n-1} \\ a_n & 0 & 0 & \ldots & 0\end{array}\right]$ ，其中
$a_i \neq 0, i=1,2, \cdots, n \text { ，则 } A^{-1}=$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，以 $Y$ 表示对 $X$ 的三次独立重复观察中事件 $\left\{X \leq \frac{1}{2}\right\}$ 出现的次数，则 $P\{Y=2\}=$
假设一批产品中一，二，三等品各占 $650 \%, 30 \%, 10 \%$ ，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 $\qquad$ .
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$.
已知 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，求 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 $x$ （万尾），乙种鱼放养 $y$ (万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为
$$
(3-\alpha x-\beta y) x \text { 和 }(4-\beta x-2 \alpha y) y(\alpha>\beta>0) \text {. }
$$
求使产鱼总量最大的放养数.
计算二重积分 $\iint_D(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq x+y+1\right\}
$$
设函数 $y=y(x)$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4\end{array}\right.$ ，求广义积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$.
已知 $f(x, y)=x^2 \arctan \frac{y}{x}-y^2 \arctan \frac{x}{y}$ ，求 $\frac{\partial^2 y}{\partial x \partial y}$.
设 $f(x)$ 可导，且 $F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t$ ， $f(0)=0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公共切线，求: (1) 常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；
(2) 两曲线与 $x$ 轴围成平面图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体体积.
(3) 两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的平面图形的面积 $S$.
假设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内存在且大于零，记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$. 证明 $F(x)$在 $(a,+\infty)$ 内单调增加.
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\ x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\ x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\ x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3\end{array}\right.$.
(1) 证明: 若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此方程组无解；
(2) 设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ ，且已知 $\beta_1, \beta_2$
是该方程组的两个解，其中 $\beta_1=\left[\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \beta_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$
写出通解
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A X}=0$ 的一个基础解系，证明 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也是该方程组的一个基础解系.
设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件.
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2 x & 0 < x < 1 \\
0 & \text { 其他 }
\end{array} ，\right.
$$
现在对 $\boldsymbol{X}$ 进行 $n$ 次独立重复观测，以 $V_n$ 表示观测值不大于
0.1 的次数，试求随机变量 $V_n$ 的概率分布.
假设随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立，且同分布 $P\left\{X_i=0\right\}=0.6, P\left\{X_i=1\right\}=0.4(i=1,2,3,4)$
求行列式 $X=\left|\begin{array}{ll}X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4\end{array}\right|$ 的概率分布.
假设由自动生产线加工的某种零件的内径 $X$ (毫米)服从正态分布 $N(\mu, 1)$ ，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 $T$ （单位：元）与销售零件的内径 $X$ 有如下关系:
$$
T=\left\{\begin{array}{lc}
-1, & X < 10 \\
20, & 10 \leq X \leq 12 \\
-5, & X>12
\end{array}\right.
$$
问平均内径 $\mu$ 取何值时，销售一个零件的平均利润最大?