单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
欧拉公式 $e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ (e 是自然对数的底数, $\mathrm{i}$ 是虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉提出的, 它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系. 已知 $z=\mathrm{ie}^{\mathrm{i} \theta}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
欧拉恒等式 $e^{i \pi}+1=0$ 也叫做欧拉公式, 它是数学里最令人着迷的公式之一, 它将数学里最重要的几个常数联系到了一起: 两个超越数: 自然对数的底数 $e$,圆周率 $\pi$, 两个单位: 虚数单位 $\mathrm{i}$ 和自然数的单位 1 , 以及数学里常见的 0 . 因此, 数学家们评价它是“上帝创造的公式, 我们只能看它而不能理解它”. 根据该公式, 引出了复数的三角表示: $e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$, 由此建立了三角函数与指数函数的关系, 是复数体系发展的里程碑. 根据上述信息,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $e^{i \pi}$ 的实部为 1
$\text{B.}$ $e^{i \pi}$ 对应的点在复平面的第二象限
$\text{C.}$ $e^{2 i}$ 的虚部为 1
$\text{D.}$ $e^{2 i}$ 对应的点在复平面的第二象限
柯西不等式最初是由大数学家柯西 (Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的. 而后来有两位数学家 Buniakowsky 和 Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之, 才能将这一不等式应用到近乎完善的地步. 该不等式的三元形式如下: 对实数 $a_1, a_2, a_3$ 和 $b_1, b_2, b_3$ , 有 $\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right) \geq\left(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\right)^2$ 等号成立当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$ 已知 $x^2+y^2+z^2=14$ ，请你用柯西不等式, 求出 $x+2 y+3 z$ 的最大值是
$\text{A.}$ 14
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 8
“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一, 至今无人给出严谨证明. “角股运算”指的是任取一个自然数, 如果它是偶数, 我们就把它除以 2 , 如果它是奇数, 我们就把它乘 3 再加上 1 . 在这样一个变换下, 我们就得到了一个新的自然数. 如果反复使用这个变换, 我们就会得到一串自然数, 该猜想就是: 反复进行角股运算后, 最后结果为 1 . 我们记一个正整数 $n(n \neq 1)$ 经过 $J(n)$ 次角股运算后首次得到 1 (若 $n$ 经过有限次角股运算均无法得到 1 , 则记 $J(n)=+\infty$ ), 以下说法有误的是
$\text{A.}$ $J(n)$ 可看作一个定义域和值域均为 $\mathrm{N}^*$ 的函数
$\text{B.}$ $J(n)$ 在其定义域上不单调, 有最小值, 无最大值
$\text{C.}$ 对任意正整数 $n(n \neq 1)$, 都有 $J(n) J(2)=J(2 n)-1$
$\text{D.}$ $J\left(2^n\right)=n$ 是真命题, $J\left(2^n-1\right) \leq J\left(2^n+1\right)$ 是假命题
古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, 其中 $p=\frac{a+b+c}{2}, a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边, 该公式具有轮换对称的特点.已知在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A: \sin B: \sin C=8: 7: 3$, 且 $triangle A B C$ 的面积为 $12 \sqrt{3}$, 则 $B C$ 边上的中线长度为
$\text{A.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $\sqrt{74}$
$\text{D.}$ $\sqrt{26}$
“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇, 定义如下: 在直角坐标平面上任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 的曼哈顿距离为: $d(A, B)=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$.已知点 $M$ 在圆 $O: x^2+y^2=1$ 上, 点 $N$ 在直线 $l: 3 x+y-9=0$ 上, 则 $d(M, N)$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$
$\text{B.}$ $\frac{9 \sqrt{10}}{10}-1$
$\text{C.}$ $\frac{18-2 \sqrt{10}}{5}$
$\text{D.}$ $3-\frac{\sqrt{10}}{3}$
多选题 （共 6 题 ），每题有多个选项正确
欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家, 他发明的公式为 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x, \mathrm{i}$ 虚数单位, 将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 这个公式也被誉为“数学中的天桥” $(e$ 为自然对数的底数, $i$ 为虚数单位), 依据上述公式, 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 复数 $e^{i \frac{\pi}{2}}$为纯虚数
$\text{B.}$ 复数 $e^{i 3}$ 对应的点位于第二象限
$\text{C.}$ 复数 $e^{i \frac{\pi}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ 复数 $e^{i \theta}(\theta \in[0, \pi])$ 在复平面内对应的点的轨迹是半圆
平面解析几何的结论很多可以推广到空间中, 如: (1) 平面上, 过点 $Q\left(x_0, y_0\right)$, 且以 $\vec{m}=(a, b)(a b \neq 0)$ 为方向向量的平面直线 $l$ 的方程为 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}$; 在空间中, 过点 $Q\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 且以 $\vec{m}=(a, b, c)(a b c \neq 0)$ 为方向向量的空间直线 $l$ 的方程为 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. (2) 平面上, 过点 $Q\left(x_0, y_0\right)$, 且以 $\vec{u}=(m, n)(m n \neq 0)$ 为法向量的直线 $l$ 的方程为 $m\left(x-x_0\right)+n\left(y-y_0\right)=0$; 空间中, 过点 $Q\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 且以 $\vec{u}=(m, n, p)(m n p \neq 0)$为法向量的平面 $\alpha$ 的方程为 $m\left(x-x_0\right)+n\left(y-y_0\right)+p\left(z-z_0\right)=0$. 现已知平面 $\alpha: 2 x+3 y+4 z=5$, 平面 $\beta:-x-2 y+2 z=0, l_1:\left\{\begin{array}{c}2 x-y=10 \\ y+z=-1\end{array}, l_2: 6 x=4 y+1=3 z-1\right.$, 则
$\text{A.}$ $l_{1 / /} \alpha$
$\text{B.}$ $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ $l_1 \perp \beta$
$\text{D.}$ $l_2 \perp \beta$
在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实:
(1) 过点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 且以 $\vec{u}=(a, b, c)(a b c \neq 0)$ 为方向向量的空间直线 $l$ 的方程为 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$;
(2) 过点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 且 $\vec{v}=(m, n, t)(m n t \neq 0)$ 为法向量的平面 $\alpha$ 的方程为 $m\left(x-x_0\right)+n\left(y-y_0\right)+$ $t\left(z-z_0\right)=0$.
现已知平面 $\alpha: x+2 y+3 z=6, l_1:\left\{\begin{array}{c}2 x-y=1 \\ 3 y-2 z=1\end{array}, l_2: x=y=2-z, l_3: \frac{x-1}{5}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{1} （ ）\right.$
$\text{A.}$ $l_{1 / /} \alpha$
$\text{B.}$ $l_{2 / /} \alpha$
$\text{C.}$ $l_{3 / /} \alpha$
$\text{D.}$ $l_1 \perp \alpha$
高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家, 用其名字命名的 “高斯函数”为: 设 $x \in \mathbf{R}$, 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 则 $y=[x]$ 称为高斯函数, 如: $[1.2]=1,[-1.2]=-2, y=[x]$ 又称为取整函数, 在现实生活中有着广泛的应用, 诸如停车收费, 出租车收费等均按“取整函数”进行计费, 以下关于“取整函数”的描述, 正确的是
$\text{A.}$ $\forall x \in \mathbf{R},[2 x]=2[x]$
$\text{B.}$ $\forall x \in \mathbf{R},[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2 x]$
$\text{C.}$ $\forall x, y \in \mathbf{R}$, 若 $[x]=[y]$, 则有 $x-y>-1$
$\text{D.}$ 方程 $x^2=3[x]+1$ 的解集为 $[\sqrt{7}, \sqrt{10}]$
英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点. 已知二次函数 $f(x)$ 有两个不相等的实根 $b, c$, 其中 $c>$ $b$. 在函数 $f(x)$ 图像上横坐标为 $x_1$ 的点处作曲线 $y=f(x)$ 的切线, 切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_2$; 用 $x_2$ 代替 $x_1$, 重复以上的过程得到 $x_3$; 一直下去, 得到数列 $\left\{x_n\right\}$. 记 $a_n=\ln \frac{x_n-b}{x_n-c}$, 且 $a_1=1, x_n>c$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ $x_1=\frac{e c-b}{e-1}$ (其中 $\ln \mathrm{e}=1$ )
$\text{B.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递减数列
$\text{C.}$ $a_6=\frac{1}{32}$
$\text{D.}$ 数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^n-2^{1-n}+1$
德国数学家狄里克雷 $(1805-1859)$ 在 1837 年时提出: “如果对于 $x$ 的每一个值, $y$ 总有一个完全确定的值与之对应, 那么 $y$ 是 $x$ 的函数. ”这个定义较清楚的说明了函数的内涵, 只要有一个法则, 使得取值范围内的每一个 $x$, 都有一个确定的 $y$ 和它对应就行了, 不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数 $D(x)$, 即: 当自变量 $x$ 取有理数时, 函数值为 1 , 当自变量 $x$ 取无理数时, 函数值为 0 . 狄里克雷函数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的” 的认识, 也使数学家们更加认可函数的对应说定义, 下列关于狄里克雷函数 $D(x)$ 的性质表述正确的是
$\text{A.}$ $D(\pi)=0$
$\text{B.}$ $D(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $D(x)$ 的值域是 $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $D(x+1)=D(x)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
数学中有很多公式都是数学家欧拉 (Leonhard Euler) 发现的, 它们都叫欧拉公式, 分散在各个数学分支之中, 任意一个凸多面体的顶点数 $V$. 棱数 $E$. 面数 $F$ 之间, 都满足关系式 $V-E+F=2$, 这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”. 若一个凸二十面体的每个面均为三角形, 则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为
1643 年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题: 已知一个三角形, 求作一点, 使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是: 当三角形的三个角均小于 $120^{\circ}$ 时, 所求的点为三角形的正等角中心 (即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角 $120^{\circ}$ ), 该点称为费马点.已知 $\triangle A B C$ 中, 其中 $\angle A=$ $60^{\circ}, B C=1, P$ 为费马点, 则 $P B+P C-P A$ 的取值范围是
高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家, 为了纪念他, 人们把函数 $y=[x](x \in \mathbf{R})$ 称为高斯函数, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.设 $S=\sum_{k=1}^{2024}\left[\frac{2024^k+2024 k}{(-1)^k \cdot 2023}\right]$, 则 $S$ 除以 2023 的余数是
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
离散对数在密码学中有重要的应用. 设 $p$ 是素数, 集合 $X=\{1,2, \mathrm{~L}, p-1\}$, 若 $u, v \in X, m \in \mathbf{N}$, 记 $u \otimes v$ 为 $u v$ 除以 $p$ 的余数, $u^{m, \otimes}$ 为 $u^m$ 除以 $p$ 的余数; 设 $a \in X, 1, a, a^{2,8}, \mathrm{~L}, a^{p-2,8}$ 两两不同, 若 $a^{n, 8}=b(n \in\{0,1, \mathrm{~L}, p-2\})$, 则称 $n$ 是以 $a$ 为底 $b$ 的离散对数, 记为 $n=\log (p)_a b$.
(1)若 $p=11, a=2$, 求 $a^{p-1, \otimes}$;
(2)对 $m_1, m_2 \in\{0,1, \mathrm{~L}, p-2\}$, 记 $m_1 \oplus m_2$ 为 $m_1+m_2$ 除以 $p-1$ 的余数（当 $m_1+m_2$ 能被 $p-1$ 整除时， $\left.m_1 \oplus m_2=0\right)$. 证明: $\log (p)_a(b \otimes c)=\log (p)_a b \oplus \log (p)_a c$, 其中 $b, c \in X$;
(3)已知 $n=\log (p)_a b$. 对 $x \in X, k \in\{1,2, \mathrm{~L}, p-2\}$, 令 $y_1=a^{k, \otimes}, y_2=x \otimes b^{k, \otimes}$. 证明: $x=y_2 \otimes y_1^{n(p-2) \otimes}$.
对于函数 $y=f(x), x \in I$, 若存在 $x_0 \in I$, 使得 $f\left(x_0\right)=x_0$, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一阶不动点; 若存在 $x_0 \in$ $I$, 使得 $f\left(f\left(x_0\right)\right)=x_0$, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的二阶不动点; 依此类推, 可以定义函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶不动点.其中一阶不动点简称不动点, 二阶不动点也称为稳定点.
(1) 已知 $f(x)=2^x+2 x-3$, 求 $f(x)$ 的不动点;
(2) 已知函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增, 求证: “ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的不动点”是 “ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的稳定点”的充分必要条件; |
(3) 已知 $a>-1$, 讨论函数 $f(x)=\frac{2}{e^2} \ln x+(a+1) x-\frac{1}{x}$ 的稳定点个数.