欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家, 他发明的公式为 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x, \mathrm{i}$ 虚数单位, 将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 这个公式也被誉为“数学中的天桥” $(e$ 为自然对数的底数, $i$ 为虚数单位), 依据上述公式, 则下列结论中正确的是
A. 复数 $e^{i \frac{\pi}{2}}$为纯虚数
B. 复数 $e^{i 3}$ 对应的点位于第二象限
C. 复数 $e^{i \frac{\pi}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
D. 复数 $e^{i \theta}(\theta \in[0, \pi])$ 在复平面内对应的点的轨迹是半圆