英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点. 已知二次函数 $f(x)$ 有两个不相等的实根 $b, c$, 其中 $c>$ $b$. 在函数 $f(x)$ 图像上横坐标为 $x_1$ 的点处作曲线 $y=f(x)$ 的切线, 切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_2$; 用 $x_2$ 代替 $x_1$, 重复以上的过程得到 $x_3$; 一直下去, 得到数列 $\left\{x_n\right\}$. 记 $a_n=\ln \frac{x_n-b}{x_n-c}$, 且 $a_1=1, x_n>c$, 下列说法正确的是
A. $x_1=\frac{e c-b}{e-1}$ (其中 $\ln \mathrm{e}=1$ )
B. 数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递减数列
C. $a_6=\frac{1}{32}$
D. 数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2^n-2^{1-n}+1$