离散对数在密码学中有重要的应用. 设 $p$ 是素数, 集合 $X=\{1,2, \mathrm{~L}, p-1\}$, 若 $u, v \in X, m \in \mathbf{N}$, 记 $u \otimes v$ 为 $u v$ 除以 $p$ 的余数, $u^{m, \otimes}$ 为 $u^m$ 除以 $p$ 的余数; 设 $a \in X, 1, a, a^{2,8}, \mathrm{~L}, a^{p-2,8}$ 两两不同, 若 $a^{n, 8}=b(n \in\{0,1, \mathrm{~L}, p-2\})$, 则称 $n$ 是以 $a$ 为底 $b$ 的离散对数, 记为 $n=\log (p)_a b$.
(1)若 $p=11, a=2$, 求 $a^{p-1, \otimes}$;
(2)对 $m_1, m_2 \in\{0,1, \mathrm{~L}, p-2\}$, 记 $m_1 \oplus m_2$ 为 $m_1+m_2$ 除以 $p-1$ 的余数（当 $m_1+m_2$ 能被 $p-1$ 整除时， $\left.m_1 \oplus m_2=0\right)$. 证明: $\log (p)_a(b \otimes c)=\log (p)_a b \oplus \log (p)_a c$, 其中 $b, c \in X$;
(3)已知 $n=\log (p)_a b$. 对 $x \in X, k \in\{1,2, \mathrm{~L}, p-2\}$, 令 $y_1=a^{k, \otimes}, y_2=x \otimes b^{k, \otimes}$. 证明: $x=y_2 \otimes y_1^{n(p-2) \otimes}$.