“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一, 至今无人给出严谨证明. “角股运算”指的是任取一个自然数, 如果它是偶数, 我们就把它除以 2 , 如果它是奇数, 我们就把它乘 3 再加上 1 . 在这样一个变换下, 我们就得到了一个新的自然数. 如果反复使用这个变换, 我们就会得到一串自然数, 该猜想就是: 反复进行角股运算后, 最后结果为 1 . 我们记一个正整数 $n(n \neq 1)$ 经过 $J(n)$ 次角股运算后首次得到 1 (若 $n$ 经过有限次角股运算均无法得到 1 , 则记 $J(n)=+\infty$ ), 以下说法有误的是
A. $J(n)$ 可看作一个定义域和值域均为 $\mathrm{N}^*$ 的函数
B. $J(n)$ 在其定义域上不单调, 有最小值, 无最大值
C. 对任意正整数 $n(n \neq 1)$, 都有 $J(n) J(2)=J(2 n)-1$
D. $J\left(2^n\right)=n$ 是真命题, $J\left(2^n-1\right) \leq J\left(2^n+1\right)$ 是假命题