对于函数 $y=f(x), x \in I$, 若存在 $x_0 \in I$, 使得 $f\left(x_0\right)=x_0$, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一阶不动点; 若存在 $x_0 \in$ $I$, 使得 $f\left(f\left(x_0\right)\right)=x_0$, 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的二阶不动点; 依此类推, 可以定义函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶不动点.其中一阶不动点简称不动点, 二阶不动点也称为稳定点.
(1) 已知 $f(x)=2^x+2 x-3$, 求 $f(x)$ 的不动点;
(2) 已知函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增, 求证: “ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的不动点”是 “ $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的稳定点”的充分必要条件; |
(3) 已知 $a>-1$, 讨论函数 $f(x)=\frac{2}{e^2} \ln x+(a+1) x-\frac{1}{x}$ 的稳定点个数.