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高斯是德国著名的数学家, 近代数学奠基者之一, 享有“数学王子”的称号, 他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家, 为了纪念他, 人们把函数 $y=[x](x \in \mathbf{R})$ 称为高斯函数, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.设 $S=\sum_{k=1}^{2024}\left[\frac{2024^k+2024 k}{(-1)^k \cdot 2023}\right]$, 则 $S$ 除以 2023 的余数是
                        
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