乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测

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乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 若复数

z = \frac{1 - 2 i}{2 + i}

, 则

\bar{z} =

A.

i

B.

- i

C.

D.

-1

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2. 命题 “

\exists x > 1, x > 2

” 的否定是

A.

\exists x \leq 1, x > 2

B.

\exists x \leq 1, x \leq 2

C.

\forall x > 1, x \leq 2

D.

\forall x > 1, x > 2

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3. 已知向量

\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, - 3)

, 则

A.

a / / (a + b)

B.

a / / (a - b)

C.

a ⊥ (a - b)

D.

a ⊥ (a + b)

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4. 已知数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1, a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 2

, 则

a_{5} =

A.

B.

2 或 -2

C.

3 或 -3

D.

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{(x^{2} - x + y)}^{5}

的展开式中

x^{5} y^{2}

的系数为

A.

-30

B.

-20

C.

D.

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6. 设抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 过点

F

且倾斜角为

\frac{π}{4}

的直线与

C

交于

A, B

两点, 以

A B

为直径的圆与准线

l

切于点

M (- \frac{p}{2}, 2)

, 则

C

的方程为

A.

y^{2} = 2 x

B.

y^{2} = 4 x

C.

y^{2} = 6 x

D.

y^{2} = 8 x

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7. 在

△ A B C

中,

\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}, ∠ B A D = θ, ∠ C A D = 2 θ

, 则下列各式一定成立的是

A.

\sin B = \cos θ \sin C

B.

\sin C = \cos θ \sin B

C.

\sin B = \sin θ \sin C

D.

\sin C = \sin θ \sin B

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8. 在满足

2 \leq x_{i} < y_{i}, x_{i}^{y_{i}} = y_{i}^{x_{i}}

的实数对

(x_{1}, y_{1}) (i = 1, 2, 3, L, n)

中, 使得

y_{1} + y_{2} + L + y_{n - 1} \leq 15 y_{n}

成立的正整数

n

的最大位为

A.

B.

C.

D.

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})

的部分图像如图所示, 则

A.

f (x)

在

(0, \frac{π}{3})

上单调递增

B.

f (x)

在

(0, 6)

上有 4 个零点

C.

| A B | = \frac{π}{3}

D.

将

y = \sin x

的图祭向右平移

\frac{π}{6}

个单位, 可得

y = f (x)

的图集

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10. 若函数

f (x)

的定义域为

R

, 且

f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y), f (2) = - 1

, 则

A.

f (0) = 0

B.

f (x)

为偶函数

C.

f (x)

的图象关于点

(1, 0)

对称

D.

\sum_{i = 1}^{\infty} f (i) = - 1

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11. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则

A.

该几何体的顶点数为12

B.

该几何体的棱数为24

C.

该几何体的表面积为

(4800 + 800 \sqrt{3}) c m^{2}

D.

该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 已知集合

A = {(x, y) ∣ x - y = 1}, B = {(x, y) ∣ (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9}

, 则

A \cap B

的子集个数为

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13. 在工业生产中轴承的直径服从

N (3.0, 0.0025)

, 购买者要求直径为

3.0 \pm ε

, 不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在

4.55 %

之内, 则

ε

至少为 ________ ; (若

X \sim N (μ, σ^{2})

, 则

P (| X - μ | < 2 σ) =

0.9545 )

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14. 设双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, A

是右支上一点, 满足

A F_{1} ⊥ A F_{2}

, 直线

A F_{2}

交双曲线于另一点

B

, 且

| B F_{1} | - | A F_{1} | = 2 a

, 则双曲线离心率的一个值为

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 已知

a_{2} + a_{4} = 30, S_{4} = 45

.
(I) 求

{a_{n}}

的通项公式;
(II) 设

b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}

, 求

{b_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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16. 我们平时常用的视力表叫做对数视力表, 视力呈现为

4.8, 4.9, 5.0, 5.1

. 视力

\geq 5.0

为正常视力. 否则就是近视. 某地区对学生视力与学习成结进行调查, 随机抽查了 100 名近视学生的成绩, 得到频率分布直方图:

（I）能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关？（不需说明理由）
(II) 估计该地区近视学生学习成缆的第 85 百分位数;（精确到 0.1 )
(III) 已知该地区学生的近视率为

54 %

, 学生成绩的优秀率为

36 %

(成绩

\geq 85

分为优秀), 从该地区学生中任选一人, 若此人的成绩为优秀, 求此人近视的概率. (以样本中的频率作为相应的概率)

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17. 如图, 在四棱椎

P - A B C D

中, 底面

A B C D

为正方形,

P A ⊥

平面

A B C D, P A = A B

, 点

E, F

分别是棱

P B, B C

的中点.

(I) 求直线

A F

与平面

P B C

所成角的正弦值;
(II) 在截面

A E F

内是否存在点

G

. 使

D G ⊥

平面

A E F

, 并说明理由.

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18. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{6}}{3}

, 点

P (0, 2)

在椭圆

C

上, 过点

P

的两条直线

P A, P B

分别与椭圆

C

交于另一点

A, B

, 且直线

P A, P B, A B

的斜率满足

k_{P A} + k_{P B} = 4 k_{A B} (k_{A B} \neq 0)

.
(I) 求椭圆

C

的方程;
(II) 证明直线

A B

过定点;
(III) 椭圆

C

的焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 求凸四边形

F_{1} A F_{2} B

面积的取值范围.

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19. 已知函数

f (x) = \ln x + a x^{2} - x + a + 1

.
（I）证明曲线

y = f (x)

在

x = 1

处的切线过原点;
（II）讨论

f (x)

的单调性;
（III）若

f (x) \leq e^{x}

, 求实数

a

的取值范围.

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