已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$, 点 $P(0,2)$ 在椭圆 $C$ 上, 过点 $P$ 的两条直线 $P A, P B$ 分别与椭圆 $C$ 交于另一点 $A, B$, 且直线 $P A, P B, A B$ 的斜率满足 $k_{P A}+k_{P B}=4 k_{A B}\left(k_{A B} \neq 0\right)$.
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 证明直线 $A B$ 过定点;
(III) 椭圆 $C$ 的焦点分别为 $F_1, F_2$, 求凸四边形 $F_1 A F_2 B$ 面积的取值范围.