单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-3 x>0\right\}, B=\left\{x \mid 1 < 2^x < 16\right\}$, 则 $\left(\mathcal{C}_R A\right) \cap B=$
$\text{A.}$ $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 4\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 3 < x \leq 4\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 0 < x \leq 3\}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 a_n=a_{n-1}+a_{n+1}(n \geq 2), a_4-a_2=4$. 若 $S_3=9$, 则 $a_9=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 17
$\text{D.}$ 19
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|$, 且 $|\vec{b}|=2$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是三个不同的平面, $m, n$ 是两条不同的直线, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $m / / n, n \subset \alpha$, 则 $m / / \alpha$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $\alpha / / \beta$
$\text{C.}$ 若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha$, 则 $m / / \beta$
$\text{D.}$ 若 $\alpha \cap \beta=l_1, \beta \cap \gamma=l_2, \alpha \cap \gamma=l_3$, 则 $l_1 / / l_2 / / l_3$
将函数 $y=\frac{1}{2} \sin x+x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转 $\theta$ 角得到曲线 $\Gamma$, 已知曲线 $\Gamma$ 始终保持为函数图象, 则 $\tan \theta$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 若函数 $f(x)$ 满足条件: 存在 $[a, b] \subseteq D$, 使 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[2 a, 2 b]$,则称 $f(x)$ 为 “倍增函数” . 若函数 $f(x)=\log _2\left(2^x-t\right)$ (其中 $\left.t \geq 0\right)$ 为 “倍增函数” , 则 $t$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{4},+\infty\right)$
已知边长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$, 点 $Q$ 为 $\triangle A_1 B C_1$ 内一个动点, 且满足 $Q B_1=\sqrt{2}$, 则点 $Q$ 的轨迹长度
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{2}$
$\text{D.}$ $2 \pi$
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-\mathrm{e}^{1-x}+x^3-3 x^2+3 x$, 若实数 $x, y$ 满足 $f\left(x^2\right)+f\left(2 y^2-1\right)=2$, 则 $x \sqrt{1+y^2}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $y=f(x)$ 是一次函数, 满足 $f(f(x))=4 x+9$, 则 $f(x)=2 x+3$
$\text{B.}$ 命题 “ $\exists x \in(0,+\infty), x^2>2^x$ ” 的否定是 “ $\forall x \in(0,+\infty), x^2 \leq 2^x$ ”
$\text{C.}$ 函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2+2$ 的定义域为 $D$, 值域 $B=\{4\}$, 则满足条件的 $f(x)$ 有 3 个
$\text{D.}$ 关于 $x$ 的不等式 $a x^2+b x+c>0$ 的解集为 $(-2,3)$, 则不等式 $c x^2-b x+a < 0$ 的解集为 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$
已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}(x>0)$, 点 $P(m, n)$ 在函数图象上, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $m+n$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $m^2+n^2$ 有最小值 2
$\text{C.}$ $\sqrt{m}+\sqrt{n}$ 有最小值 $2^{\frac{5}{4}}$
$\text{D.}$ 若 $2 < m < 4$, 则 $\frac{m}{4-m}+\frac{n}{1-n}$ 有最小值 $2+2 \sqrt{2}$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(3-x)=f(-1+x)$, 且当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x^3-2 x$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的一个周期为 4
$\text{B.}$ 当 $x \in[1,2]$ 时, 函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2(2-x)-(2-x)^3$
$\text{C.}$ 当 $x \in[-1,0]$ 时, 函数 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2023]$ 内有 1011 个零点
定义数列 $\left\{a_n\right\}, a_1=1, \mathrm{e}^{a_{n+1}} a_n=\mathrm{e}^{a_n}-1$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减数列
$\text{B.}$ $a_{n+1}>\frac{1}{2} a_n$
$\text{C.}$ $a_{2 n+1}+a_{2 n-1} < 2 a_{2 n}$
$\text{D.}$ $a_n \geq\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $M(1,2)$ 是角 $\alpha$ 终边上的一点, 则 $\sin 2 \alpha=$
已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球, 且外接球的表面积为 $40 \pi$, 则该三棱柱的体积为
若 $H$ 是 $\triangle A B C$ 的垂心, 且 $2 \overrightarrow{H A}+2 \overrightarrow{H B}+3 \overrightarrow{H C}=\overrightarrow{0}$, 则 $\tan C$ 的值为
在同一直角坐标系中, $A, B$ 分别是函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{m x}+(1-m) x-\ln x$ 和 $g(x)=x$ 图象上的动点, 若对于任意 $m>0$, 都有 $|A B| \geq a$ 恒成立, 则实数 $a$ 的最大值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\vec{a}=(2 \sqrt{3} \sin x, \cos x), \vec{b}=(\cos x, 2 \cos x)$, 且函数 $f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的对称轴方程与单调递增区间;
(2) 已知 $f\left(x_0\right)=\frac{13}{5}, x_0 \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$, 求 $\cos 2 x_0$ 的值.
如图, 在四棱雉 $E-A B C D$ 中, $E A \perp$ 平面 $A B C D$, 底面 $A B C D$ 为矩形, $A B=2, A D=1, E A=\sqrt{3}, F$ 为 $E C$中点, $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}$.
(1) 求证: $E C \perp$ 平面 $D F G$;
(2) 求二面角 $F-D G-C$ 的余弦值.
记 $\triangle A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\frac{\sin C-\sin A}{\sqrt{3} c-b}=\frac{\sin B}{c+a}$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $b=2 \sqrt{3}$, 求 $a+\frac{c}{2}$ 的最小值.
已知函数 $f(x)=x \ln x+1$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: 当 $a \geq 1$ 时, $f(x) < a\left(\mathrm{e}^x-x\right)$.
已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等比数列, 公比不为 1 , 且 $b_1 \cdot b_2=b_3, 4 b_1-b_2=3$.
(1) 令 $d_n=\frac{b_{n+1}}{\left(b_n-1\right)\left(b_{n+1}-1\right)}$, 求证: $d_1+d_2+d_3+\cdots+d_n < \frac{3}{4}$;
(2) 记 $c_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{(2 n-1)(2 n+3)}, n=2 k-1, \\ (2 n-1) \cdot b_n, n=2 k,\end{array}\right.$ 其中 $k \in \mathbf{N}^*$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$.
已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x+1}-a x, F(x)=\ln x$.
(1) 当 $a=1$ 时, 过点 $(1,0)$ 与函数 $f(x)$ 相切的直线有几条?
(2) 若 $f(x)=a F(x)$ 有两个交点, 求实数 $a$ 的取值范围.