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记 $\triangle A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $\frac{\sin C-\sin A}{\sqrt{3} c-b}=\frac{\sin B}{c+a}$.
(1) 求 $A$;
(2) 若 $b=2 \sqrt{3}$, 求 $a+\frac{c}{2}$ 的最小值.
                        
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