单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
定义集合 $A, B$ 的一种运算 $A \Delta B=\{x \mid x \in A$ 且 $x \notin B$, 或 $x \in B$ 且 $x \notin A\}$, 设全集为 $U$,则
$\text{A.}$ $C_U(A \cup B) \cap(A \cap B)$
$\text{B.}$ $C_U(A \cap B) \cap(A \cup B)$
$\text{C.}$ $C_U(A \cup B) \cup(A \cap B)$
$\text{D.}$ $C_U(A \cap B) \cup(A \cup B)$
抛物线 $y^2=p x \quad(p>0)$ 的焦点到准线的距离为 1 , 则 $p=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 4
已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2), \boldsymbol{b}=(3,4)$, 若 $4 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$ 与 $k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 共线, 则 $k=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
下列残差图中, 满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知 $A B=2$, 空间内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=2$, 则 $\cos \angle A P B$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
$f(x)=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+a^2}+\ln \frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{a}$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(2 a+1)+f(3-a)>0$, 则 $a$的取值范围为
$\text{A.}$ $(0,+\infty)$
$\text{B.}$ $(-\infty,-4)$
$\text{C.}$ $(-4,0)$
$\text{D.}$ $(-4,0) \cup(0,+\infty)$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_2=2$, 数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列, 则 $\sum_{i=2}^{2024} \log _{a_i} 2=$
$\text{A.}$ $\frac{2023}{2024}$
$\text{B.}$ $\frac{2023}{1012}$
$\text{C.}$ $\frac{1011}{2024}$
$\text{D.}$ $\frac{1011}{1012}$
若 $\left(a x^2+\frac{3}{x}\right)^{10}$ 的展开式中系数最大的项有两项, 则正整数 $a$ 的所有可能取值之和为
$\text{A.}$ 30
$\text{B.}$ 33
$\text{C.}$ 58
$\text{D.}$ 51
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
圆锥的顶点为 $S$, 底面圆心为 $O, A, B$ 是圆 $O$ 上的两动点, $S A=\sqrt{3}, O A=1$, 则直线 $S O$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值可能为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
下列函数中满足 “ $\exists x_1, x_2 \in(0,2),\left|x_1-x_2\right|=1$, 使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ” 的是
$\text{A.}$ $y=x \ln x$
$\text{B.}$ $y=|x-1|$
$\text{C.}$ $y=\cos 2 \pi x$
$\text{D.}$ $y=x^2-x-2$
已知农历每月的第 $t+1$ 天 $(0 \leq t \leq 29, t \in \mathbf{N})$ 的月相外边缘近似为椭圆的一半, 方程为 $\frac{x^2}{r^2 \cos ^2 \frac{2 \pi}{29} t}+\frac{y^2}{r^2}=1$, 其中 $r$ 为常数. 根据上述信息, 下列说法中正确的有
$\text{A.}$ 农历每月第 $d\left(1 \leq d \leq 30, d \in \mathbf{N}^*\right)$ 天和第 $31-d$ 的月相外边缘形状相同
$\text{B.}$ 月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离最大值为 $2 r$
$\text{C.}$ 月相外边缘的离心率为 $\sin \frac{2 \pi}{29} t$
$\text{D.}$ 蛾眉月（农历初七、初八）的月相外边缘离心率在区间 $\left(\frac{5}{6}, 1\right)$ 内
已知函数 $f_n(x)=\sin ^n x+\cos ^n x \quad\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则
$\text{A.}$ $f_4(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 若 $f_1(x)=1$, 则 $f_3(x)=1$
$\text{C.}$ $f_6(x)=\frac{5-3 \cos 4 x}{8}$
$\text{D.}$ $f_{2 n}(x)(n \geq 2)$ 的值域为 $\left[\frac{1}{2^{n-1}}, 1\right]$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 “ $\forall x \in[1,2], \frac{m}{x}-2>0$ ” 是假命题, 则实数 $m$ 的取值范围为
已知 $z \in \mathbf{C}$, 且 $3 < 48 z \cdot \bar{z} < 4, \frac{1}{z}=3+b \mathrm{i}$, 则正整数 $b$ 的值为
平面直角坐标系中, 集合 $\left\{(x, y) \mid x=\frac{4 t}{1+t^2}, y=\frac{2\left(1-t^2\right)}{1+t^2}, t \in \mathbf{R}\right\}$ 中的点到直线 $y=$ $\sqrt{3} x-6$ 的距离最小值为
《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱雉称为 “鳖臑” . 现有一个鳖臑, 其顶点均在同一个体积为 1 的球的表面上, 则该鳖臑的体积的最大值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, $A B=4, A C=8, B C=9, P$ 为 $B C$ 边上一点, $\overrightarrow{B P}=x \overrightarrow{B C}$.
(1) 若 $x \sin B=(1-x) \sin C$, 求 $A P$ 的长;
(2) 求 $A P$ 的长关于 $x$ 的函数 $l(x)$, 并求 $A P$ 取最小值时 $\frac{B P}{C P}$ 的值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+2}}=2 \sqrt{a_{n+1}}$, 且 $\frac{a_6-a_3}{\sqrt{a_8}+1}=6$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $a_n \geq k\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}\right)$ 恒成立, 求 $k$ 的最大值.
已知某种疾病在人群中的患病率为 $1 \%$, 对该疾病进行检测, 灵敏度 (对患者检测为阳性的概率）为 $90 \%$, 特异度 (对非患者检测为阴性的概率）为 $91 \%$.
(1) 对人群中随机选择一人进行该疾病的检测, 求检测结果为阳性的概率;
(2) 设随机事件 $A, B, P(A)>0, P(B)>0$, 证明: $\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(\bar{A}) P(B \mid \bar{A})}=\frac{n(A \mid B)}{n(\bar{A} \mid B)}$;
(3) 现有 110 人该疾病检测为阳性, 估计其中确患该疾病的人数（精确到个位）.
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B \perp B C, A B=B C=B B_1=6, D, E$ 分别为 $A C, B B_1$ 的中点, $F$ 为棱 $B C$ 上一点, 且 $A_1, D, E, F$ 四点共面.
(1) 求 $B F$ 的长;
(2) 求二面角 $C_1-D F-C$ 的正切值.
已知函数 $f(x)=\ln x, f^{\prime}(x)$ 表示 $f(x)$ 的导函数, $0 < a < b$, 证明:
(1) $(b-a) f^{\prime}(b) < f(b)-f(a) < (b-a) f^{\prime}(a)$;
(2) 若 $\frac{1}{2} \leq \lambda < 1$, 则 $f(b)-f(a) < \left[\lambda f^{\prime}(a)+(1-\lambda) f^{\prime}(b)\right](b-a)$.
在平面直角坐标系中, 已知点 $F_1(-2,0), F_2(2,0)$, 点 $P$ 满足 $\left|P F_1\right|-\left|P F_2\right|=2$, 记点 $P$的轨迹为 $\Gamma$.
(1) 求 $\Gamma$ 的方程及其渐近线的方程;
(2) 设直线 $l$ 与 $\Gamma$ 交于点 $A, B$, 与 $\Gamma$ 的渐近线交于点 $C, D$, 求 $|A C| \cdot|A D|$ 的取值范围.