已知函数 $f_n(x)=\sin ^n x+\cos ^n x \quad\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$, 则
$\text{A.}$ $f_4(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 若 $f_1(x)=1$, 则 $f_3(x)=1$
$\text{C.}$ $f_6(x)=\frac{5-3 \cos 4 x}{8}$
$\text{D.}$ $f_{2 n}(x)(n \geq 2)$ 的值域为 $\left[\frac{1}{2^{n-1}}, 1\right]$