10道经典中考数学压轴题

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10道经典中考数学压轴题

一、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知二次函数的解析式为

y = - x^{2} + 4 x

, 该二次函数交

x

轴于

O 、 B

两点,

A

为抛物线上一点, 且横纵坐标相等(原点除外),

P

为二次函数上一动点, 过

P

作

x

轴垂线, 垂足为

D (a, 0) (a > 0)

,并与直线

O A

交于点

C

.
(1)求

A 、 B

两点的坐标;
(2)当点

P

在线段

O A

上方时，过

P

作

x

轴的平行线与线段

O A

相交于点

E

, 求

△ P C E

周长的最大值及此时

P

点的坐标;
(3)当

P C = C O

时, 求

P

点坐标.

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2. 在平面直角坐标系

x O y

中, 抛物线

y = - x^{2} + b x + c

与

x

轴交于

A (- 1, 0), B (- 3, 0)

两点, 与

y

轴交于点

C

.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为

D

, 点

P

在抛物线的对称轴上, 且

∠ A P D

= ∠ A C B

, 求点

P

的坐标;
(3)点

Q

是直线

B C

上方抛物线上的动点, 求点

Q

到直线

B C

的距离最大时点

Q

的坐标.

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3. 如图, 抛物线

y = - x^{2} + b x + c

与

x

轴交于

A (- 1, 0), B (5

, 0 )两点, 直线

y = - \frac{3}{4} x + 3

与

y

轴交于点

C

, 与

x

轴交于点

D

.点

P

是

x

轴上方的抛物线上一动点, 过点

P

作

P F ⊥ x

轴于点

F

, 交直线

C D

于点

E

. 设点

P

的横坐标为

m

.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若

P E = 5 E F

, 求

m

的值；
(3) 若点

E^{'}

是点

E

关于直线

P C

的对称点, 是否存在点

P

, 使点

E^{'}

落在

y

轴上? 若存在, 请直接写出相应的点

P

的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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4. 如图, 过抛物线

y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x

上一点

A

作

x

轴的平行线, 交抛物线于另一点

B

, 交

y

轴于点

C

, 已知点

A

的横坐标为 -2 .
(1)求抛物线的对称轴和点

B

的坐标;
(2)在

A B

上任取一点

P

, 连接

O P

, 作点

C

关于直线

O P

的对称点

D

,
①连接

B D

, 求

B D

的最小值；
②当点

D

落在抛物线的对称轴上, 且在

x

轴上方时, 求直线

P D

的函数表达式.

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5. 如图, 抛物线

y = x^{2} + b x + c

过点

A (3, 0), B (1, 0)

, 交

y

轴于点

C

, 点

P

是该抛物线上一动点, 点

P

从

C

点沿抛物线向

A

点运动(点

P

不与点

A

重合), 过点

P

作

P D / / y

轴交直线

A C

于点

D

.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点

P

在运动的过程中线段

P D

长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点

M

, 使

| M A - M C |

最大? 若存在, 请求出点

M

的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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6. 如图①, 在平面直角坐标系中, 点

O

为坐标原点, 抛物线

y

= a x^{2} + b x + 5

与

x

轴交于点

A

、点

B

, 与

y

轴交于点

C

. 直线

y

= x + 2

经过点

A

, 交抛物线于点

D, A D

交

y

轴于点

E

, 连接

C D

, 且

C D / / x

轴.

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，过点

A

的直线交抛物线第四象限于点

F

, 若

\tan ∠

B A F = \frac{1}{2}

, 求点

F

的坐标;
(3)在(2)的条件下,

P

为直线

A F

上方抛物线上一点, 过点

P

作

P H ⊥ A F

, 垂足为

H

, 若

H E = P E

, 求点

P

的坐标.

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7. 如图, 抛物线

y = - x^{2} + b x + c

与

x

轴交于

A, B

两点, 与

y

轴交于点

C

, 点

O

为坐标原点, 点

D

为抛物线的顶点, 点

E

在抛物线上, 点

F

在

x

轴上, 四边形

O C E F

为矩形, 且

O F =

2, E F = 3

.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接

C B

交

E F

于点

M

, 连接

A M

交

O C

于点

R

, 连接

A C

,求

△ A C R

的周长；
(3)设

G (4, - 5)

在该抛物线上,

P

是

y

轴上一动点, 过点

P

作

P H ⊥ E F

于点

H

, 连接

A P, G H

, 问

A P + P H + H G

是否有最小值? 如果有, 求出点

P

的坐标; 如果没有, 请说明理由.

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8. 如图,

△ M C B

的顶点

B 、 C

分别在

x

轴、

y

轴的正半轴上,抛物线

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

经过点

M, C, B

, 且点

M

为抛物线的顶点, 点

A (- 1, 0)

是抛物线与

x

轴负半轴的交点, 若线段

A B = 6, ∠ A B C = 45^{\circ}

.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点

D

为线段

B M

上任意一点(点

D

不与点

B

重合), 过点

D

作垂直于

x

轴的直线

x = t

, 交抛物线于点

E

, 交线段

B C

于点

F

.
①求当

t

为何值时，线段

D E

有最大值? 最大值是多少?
②是否存在这样的点

D

, 使得

\frac{E D}{F D} = \frac{1}{2}

? 若存在, 求出

D

点的坐标；若不存在, 请说明理由.

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9. 如图, 抛物线

y = \frac{1}{2} (x - 3)^{2} - 1

与

x

轴交于

A 、 B

两点(点

A

在点

B

的左侧), 与

y

轴交于点

C

, 顶点为

D

.
(1)试求点

A, B, D

的坐标；
(2)连接

C D

, 过原点

O

作

O E ⊥ C D

与抛物线的对称轴交于点

E

,求

O E

的长;
(3)以(2)中的点

E

为圆心, 1 为半径画圆, 在对称轴右侧的抛物线上有一动点

P

, 过点

P

作

⊙ O

的切线, 切点为

Q

, 当

P Q

的长最小时, 求点

P

的坐标.

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10. 如图, 抛物线

y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)

与

y

轴交于点

C (0, 4)

,与

x

轴交于点

A 、 B

, 点

A

坐标为

(4, 0)

(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线的顶点为

N

, 在

x

轴上找一点

K

, 使

C K + K N

最小,并求出点

K

的坐标;
(3)已知

D

是

O A

的中点, 点

P

在第一象限的抛物线上, 过点

P

作

x

轴的平行线, 交直线

A C

于点

F

, 连接

O F, D F

. 当

O F

= D F

时，求点

P

的坐标.

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