数学试题讲解

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如图,

△ M C B

的顶点

B 、 C

分别在

x

轴、

y

轴的正半轴上,抛物线

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

经过点

M, C, B

, 且点

M

为抛物线的顶点, 点

A (- 1, 0)

是抛物线与

x

轴负半轴的交点, 若线段

A B = 6, ∠ A B C = 45^{\circ}

.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点

D

为线段

B M

上任意一点(点

D

不与点

B

重合), 过点

D

作垂直于

x

轴的直线

x = t

, 交抛物线于点

E

, 交线段

B C

于点

F

.
①求当

t

为何值时，线段

D E

有最大值? 最大值是多少?
②是否存在这样的点

D

, 使得

\frac{E D}{F D} = \frac{1}{2}

? 若存在, 求出

D

点的坐标；若不存在, 请说明理由.