如图, 抛物线 $y=x^2+b x+c$ 过点 $A(3,0), B(1,0)$, 交 $y$ 轴于点 $C$, 点 $P$ 是该抛物线上一动点, 点 $P$ 从 $C$ 点沿抛物线向 $A$ 点运动(点 $P$ 不与点 $A$ 重合), 过点 $P$ 作 $P D / / y$ 轴交直线 $A C$于点 $D$.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点 $P$ 在运动的过程中线段 $P D$ 长度的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点 $M$, 使 $|M A-M C|$ 最大? 若存在, 请求出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.