单选题 （共 28 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ．
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 矩阵，则必有
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$ ．
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A B}|=|\boldsymbol{B A}|$ ．
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ．
设 $n$ 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $\boldsymbol{A B}$ 等于
$\text{A.}$ $\boldsymbol{O}$ ．
$\text{B.}$ $-\boldsymbol{E}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵，则必有
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A C B}=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{B A C}=\boldsymbol{E}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=a \neq 0$ ，而 $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
$\text{A.}$ $a$ ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$ ．
$\text{C.}$ $a^{n-1}$ ．
$\text{D.}$ $a^n$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^*\right|=$
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ ．
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}|$ ．
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}|^n$ ．
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|^{-1}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是任一 $n(n \geqslant 3)$ 阶方阵， $\boldsymbol{A}^{\prime}$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k \boldsymbol{A})^*=$
$\text{A.}$ $k \boldsymbol{A}^*$ ．
$\text{B.}$ $k^{n-1} \boldsymbol{A}^*$
$\text{C.}$ $k^n \boldsymbol{A}^*$
$\text{D.}$ $k^{-1} \boldsymbol{A}$
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 非奇异 $(n \geqslant 2), \boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-1} \boldsymbol{A}$ ．
$\text{B.}$ $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+1} \boldsymbol{A}$
$\text{C.}$ $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$ ．
$\text{D.}$ $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^*=|\boldsymbol{A}|^{n+2} \boldsymbol{A}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 2 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{\cdot}, \boldsymbol{B}^{\cdot}$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵．若 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{B}^* \\ 2 \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{\boldsymbol{\boldsymbol { *}}} \\ 3 \boldsymbol{A}^{\boldsymbol{*}} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^* \\ 2 \boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{A}^* \\ 3 \boldsymbol{B}^* & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}\right)^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $A^{-1}+B^{-1}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \boldsymbol{B}$ ．
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C} \boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{B}- \boldsymbol{C}$ 为
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}$ ．
$\text{B.}$ － $\boldsymbol{E}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ ．
$\text{D.}$ $-\boldsymbol{A}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{\cdot}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{\cdot}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵。若 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}$ 为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$ ．
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶方阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $\boldsymbol{B}$ ，再把 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 列加到第 3 列得 $\boldsymbol{C}$ ，则满足 $\boldsymbol{A Q}=\boldsymbol{C}$ 的可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再交换 $\boldsymbol{B}$ 的第 2 行与第 3
行得单位矩阵。记 $\boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=$
$\text{A.}$ $P_1 P_2$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}_1^{-1} \boldsymbol{P}_2$ ．
$\text{C.}$ $P_2 P_1$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1^{-1}$ ．
设
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}
a_{14} & a_{13} & a_{12} & a_{11} \\
a_{24} & a_{23} & a_{22} & a_{21} \\
a_{34} & a_{33} & a_{32} & a_{31} \\
a_{44} & a_{43} & a_{42} & a_{41}
\end{array}\right), \boldsymbol{P}_1=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
$\boldsymbol{P}_2=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_2$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{A}^{-1}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}_1$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$ ，记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{-1}$ ．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ ．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{P}$ 均为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{P}$ 的转置矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1\right.$ ， $\left.\alpha_2, \alpha_3\right), Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^*, \boldsymbol{B}^*$ 分别为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $\boldsymbol{B}^*$ 。
$\text{B.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $\boldsymbol{B}^*$ 。
$\text{C.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的第 1 列与第 2 列得 $-\boldsymbol{B}^{*}$ 。
$\text{D.}$ 交换 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-\boldsymbol{B}^*$ ．
设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则必有
$\text{A.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=a$ 。
$\text{B.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=a(a \neq 0)$ 时，$|\boldsymbol{B}|=-a$ ．
$\text{C.}$ 当 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时，$|\boldsymbol{B}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶可逆矩阵，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ ．
$\text{B.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A C}=\boldsymbol{B}$ ．
$\text{D.}$ 存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ ，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{C}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 的秩为 $r_1$ ，则
$\text{A.}$ $r>r_1$ ．
$\text{B.}$ $r < r_1$ ．
$\text{C.}$ $r=r_1$ ．
$\text{D.}$ $r$ 与 $r_1$ 的关系依 $\boldsymbol{C}$ 而定．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$ ．
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$ ．
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}| \neq 0$ ．
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有行列式 $|\boldsymbol{A B}|=0$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则
$\text{A.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=m, \mathrm{r}(\boldsymbol{B})=m$ ．
$\text{B.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=m, \mathrm{r}(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{C.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n, \mathrm{r}(\boldsymbol{B})=m$ ．
$\text{D.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n, \mathrm{r}(\boldsymbol{B})=n$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的秩
$\text{A.}$ 必有一个等于零．
$\text{B.}$ 都小于 $n$ 。
$\text{C.}$ 一个小于 $n$ ，一个等于 $n$ ．
$\text{D.}$ 都等于 $n$ ．
已知 $\boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right), \boldsymbol{P}$ 为 3 阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{P Q}=\boldsymbol{O}$ ，则
$\text{A.}$ $t=6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ．
$\text{B.}$ $t=6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ．
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ．
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ．
设 $n(n \geqslant 3)$ 阶矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right),
$$
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $n-1$ ，则 $a$ 必为
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ $\frac{1}{1-n}$ ．
$\text{C.}$ -1 ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{n-1}$ ．
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的秩为 1 ，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$ ．
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ．
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ．
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(\boldsymbol{X})$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的秩，$(\boldsymbol{X} \quad \boldsymbol{Y})$ 表示分块矩阵，则
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{A B})=r(\boldsymbol{A})$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{B A})=r(\boldsymbol{A})$ ．
$\text{C.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A} \quad \boldsymbol{B})=\max \{\mathrm{r}(\boldsymbol{A}), \mathrm{r}(\boldsymbol{B})\}$ ．
$\text{D.}$ $\operatorname{r}\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)=\operatorname{r}\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$ ．