设 $n$ 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\frac{1}{2}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{2}\right)$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}+2 \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则 $\boldsymbol{A B}$ 等于
A. $\boldsymbol{O}$ ．
B. $-\boldsymbol{E}$ ．
C. $\boldsymbol{E}$ ．
D. $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．