单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，对矩阵 $A$ 作若干次初等变换得到矩阵 $B$ ，那么必有
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}| $
$\text{B.}$ 如 $|\boldsymbol{A}|=\mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{B} \mid=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq|\boldsymbol{B}|$
$\text{D.}$ 如 $|\boldsymbol{A}|>\mathbf{0}$ ，则 $|\boldsymbol{B}|>\mathbf{0}$
下列命题错误的是
$\text{A.}$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则$(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})$
$\text{B.}$ 如果 $A, B$ 均是 $n \times 1$ 矩阵，则 $A^T B=B^T A$
$\text{C.}$ 如果 $A, B$ 均是 $n$ 阶矩阵且 $A B=0$ ，则$(A+B)^2=A^2+B^2$
$\text{D.}$ 如果 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $A^m A^k=A^k A^m$
设 $A$ 是任 $-n(n \geq 3)$ 阶方阵， $A^*$ 是其伴随矩阵，又 $k$ 为 常数，且 $k \neq 0, \pm 1$ ，则必有 $(k A)^*= $
$\text{A.}$ $k A^*$
$\text{B.}$ $k^{n-1} A^*$
$\text{C.}$ $k^n A^*$
$\text{D.}$ $\frac{A^*}{k}$
设 $A, B$ 为满足 $A B=0$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{B.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则矩阵 $A, B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 既不合同也不相似
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
行列式 $\left|\begin{array}{llll}a_1 & 0 & 0 & b_1 \\ 0 & a_2 & b_2 & 0 \\ 0 & b_3 & a_3 & 0 \\ b_4 & 0 & 0 & a_4\end{array}\right|$ 的值等于
设 $\alpha=(1,2,3)^T, \beta=\left(1, \frac{1}{2}, 0\right)^T ， A=\alpha \beta^T$ ，则 $A^3=$
$\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{2017}\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)^{2018}=$
设 $\alpha_1=(1,1)^T, \alpha_2=(1,0)^T, \beta_1=(2,3)^T$, $\beta_2=(3,1)^T$ 则 $\alpha_1, \alpha_2$ 到 $\beta_1, \beta_2$ 的过渡矩阵为
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,2, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $\left|4 A^{-1}-E\right|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$. 求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$ 的 列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示.
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.
设
$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { ， } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基，并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
已知 $A$ 是 $2 n+1$ 阶正交矩阵，即 $A A^T=A^T A=E$. 证明 : $\left|E-A^2\right|=0$.
已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ，求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ，使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交.
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征 向量依次为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2$ 为两个线性无关的向量. 证明 $\alpha_1+\alpha_2$ 不是 $A$ 的特征向量.
已知二次型
$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3$.
(1)写出二次型 $f$ 的矩阵表达式 ；
(2)用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型，并写出相应正交矩阵.
证明: 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则有
$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地，当 $A B=O$ 时，有
$r(A)+r(B) \leq n$.