证明: 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, $B$ 为 $n \times p$ 矩阵,则有
$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地,当 $A B=O$ 时,有
$r(A)+r(B) \leq n$.
【答案】 【参考证明】由于
$$
\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E}_n & \boldsymbol{O} \\
-A & \boldsymbol{E}_m
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E}_n & B \\
A & O
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E}_n & -\boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_p
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E}_n & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & -\boldsymbol{A B}
\end{array}\right],
$$
因为 $\left[\begin{array}{cc}E_n & O \\ -A & E_m\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}E_n & -B \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{E}_p\end{array}\right]$ 为可逆矩阵,所以
$$
\begin{aligned}
& r\left[\begin{array}{cc}
E_n & B \\
A & O
\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{cc}
E_n & O \\
O & -A B
\end{array}\right]=r\left(E_n\right)+r(-A B) \\
= & n+r(A B)
\end{aligned}
$$
而 $r\left[\begin{array}{cc}E_n & B \\ A & O\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{cc}B & E_n \\ O & A\end{array}\right]$ ,当 $B$ 有一个 $n_1$ 阶子式不为 0,

$A$ 有一个 $n_2$ 阶子式不为 0 时, $\left[\begin{array}{cc}B & E_n \\ O & A\end{array}\right]$ 一定有一个 $n_1+n_2$
阶子式不为 0 。因此
$$
r\left[\begin{array}{ll}
B & E_n \\
O & A
\end{array}\right] \geq r(A)+r(B) .
$$
所以 $r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地,当 $A B=O$ 时,有 $r(A)+r(B) \leq n$.


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