$$
\begin{gathered}
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2 \\
-1 & 2 & 2
\end{array}\right) \text { , } \\
B=\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4 \\
0 & 3 \\
-4 & 2
\end{array}\right) .
\end{gathered}
$$
证明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是 $R^3$ 的基,并求 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标.
【答案】 【参考解析】对矩阵 $\left(\begin{array}{ll}A & B\end{array}\right)$ 作行的初等变换,如果 $A$ 能 变成单位矩阵 $E$ ,则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 构成 $R^3$ 的一个基,并求将 $B$ 矩阵变换为 $A^{-1} B$ ,即为 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的坐标. 于是有

$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{ll}
A & B
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & -1 & 1 & 4 \\
2 & -1 & 2 & 0 & 3 \\
-1 & 2 & 2 & -4 & 2
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{2}{3} & 1 \\
0 & 0 & 1 & -1 & \frac{2}{3}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 构成 $R^3$ 的一个基,并且 $\beta_1, \beta_2$ 在这个基中的 坐标为 $\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-1\right)$ 和 $\left(\frac{4}{3}, 1, \frac{2}{3}\right)$. 即
$$
\left(\beta_1, \beta_2\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)\left(\begin{array}{cc}
\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\
-\frac{2}{3} & 1 \\
-1 & \frac{2}{3}
\end{array}\right)
$$


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