问 $a, b$ 为何值时,线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解 ? 无解 ? 有无穷多解 ? 并求出无穷多个解时的通解.
【答案】 【参考解析】对该方程组对应的增广矩阵实施初等行变换, 则有
$$
\begin{aligned}
& (A b)=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & a-3 & -2 & b \\
3 & 2 & 1 & a & -1
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\
0 & 0 & 0 & a-1 & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

(1)当 $a \neq 1$ 时,系数行列式 $|A|=(a-1)^2 \neq 0$ ,故由克莱 姆法则,可知原方程有惟一解.
(2)当 $a=1, b \neq-1$ 时,
$$
r(A, b)=3, r(A)=2, r(A, b) \neq r(A) ,
$$
故方程组无解.
(3)当 $a=1, b=-1$ 时, $r(A, b)=r(A)=2 < 4$ ,故方程 组有无穷多个解,此时有
$$
(A b) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

求得原方程的同解方程组为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\
x_2+2 x_3+2 x_4=0
\end{array}\right.
$$
因此,它的通解可以描述为
$$
x=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right)+k_1\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1 \\
0
\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right), k_1, k_2 \text { 为任意常数. }
$$


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